圆锥曲线(大题)应该这样复习文数理数适用.docVIP

圆锥曲线综合题应该这样复习（文数、理数适用） 广东高考研究中心 程剑彪 广东高考数学卷，20题和21题是试卷的最后两道题，其中一道必定是圆锥曲线综合题，另外一道必定是函数与导数的综合题，两道题次序不分先后。毫无疑问，这两道题都是压轴题，难题较大。 由于圆锥曲线综合题在试卷中所处的位置，加上平时老师反复地告知圆锥曲线综合题是难题，我们很多同学都还没开始学（复习）圆锥曲线的内容，就已经产生了畏惧情绪。这种畏惧情绪使得我们的同学在面对圆锥曲线综合题时毫无信心，无从下手。当解不出来成为了一种习惯，我们很多同学就会采取消极态度，厌恶圆锥曲线综合题，甚至一碰到圆锥曲线综合题就想到了放弃。 圆锥曲线综合题给予我们同学的往往就一个词：迷茫。 其实圆锥曲线综合题没我们想象得那么难，只要你熟悉了套路，掌握了常用方法，熟悉了出卷者的意图，耐心一些，不贪多，不求快，你会发现圆锥曲线综合题很有味道，最终你一定会笑着感叹：也不过如此！ 下面，我们把圆锥曲线知识划块分类，再针对每一类介绍常用方法，做到思路清晰，有条有理。 一、求轨迹方程 广东卷圆锥曲线综合题第一问，通常是让你求圆锥曲线的方程，一般是通过已知条件（比如已知离心率，已知曲线过某个已知点等），来确定椭圆或双曲线的a,b值，或抛物线的p值。难度较小，这要求我们熟悉这几种曲线的定义以及方程中参数的关系。 此外，同学们有必要进一步学习圆锥曲线求轨迹方程的常用的方法，常用方法有四种：直接法、定义法、代入法、参数法。 1、直接法。根据已知条件及一些基本公式（如两点间距离公式、点到直线距离公式、直线的斜率公式等），直接列出动点满足的等量关系，从而求得轨迹方程，这种求轨迹方程的方法称“直接法”。 例：已知两定点A（-c,0）和B（c,0）,c0,Q为一动点，QA与QB两直线的斜率乘积为，求Q的轨迹方程。 解：设Q（x,y）,k=,k=, 得：， 整理得，。故轨迹是双曲线（除两顶点）。 2、定义法。当动点轨迹符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等），即可根据定义写出轨迹方程，这种方法叫“定义法”。 例：已知圆C：内一定点A（1,0），点P是圆C上一动点，若PA的垂直平分线交CP于一点Q，当点P运动时，求点Q的轨迹方程。 解：依题意，|QC|+|QA|=r (r=4为定值)，符合椭圆轨迹定义，所以Q的轨迹为一椭圆，左焦点为C，右焦点为A，轨迹方程为 3、代入法。代入法就是根据动点轨迹上的点（x,y）与已知轨迹上的点（）的关系，用x,y分别代替代入已知曲线方程，得到动点轨迹方程。 例：定点A（3,0）为圆x+y=1外一定点，P为圆上任一点，POA的平分线交PA于Q，求Q的轨迹方程。 解：设Q（x,y）,P（）,则： 由，所以，所以 代入圆方程整理得： 4、参数法。设动点为（x,y）,x和y分别用参数表示，而参数又可以通过运算消掉，得到动点轨迹方程。 例：已知线段AB的长度a，点P分AB为AP:PB=2:1两部分，当点A在y轴正半轴上运动，点B在x轴正半轴上运动时，求动点P的轨迹方程。 解：设P（x,y）,,则有 利用消去参数得： 二、两大工具——韦达定理与点差法 在深入学习圆锥曲线综合题之前，你不得不先学习两大解题工具——韦达定理和点差法。 下面通过一个简单的例子来学习韦达定理的运用： 例：已知一条直线y=2x+1与椭圆相交于两点A、B两点，求线段AB的长。 解:设A（x,y）,B(x,y)，则AB的长d= === 所以只要求出的值和的值即可。显然的值和的值能通个韦达定理求出。 联立方程 消去y得：，所以=-，=- 代入即可求出d= 如例题，通过联立方程把和的值整体求出，这就是韦达定理在圆锥曲线综合题中的运用。同理，如果题目需要，我们也可以把和的值求出。 通过这个例题，我们还能发现，直线y=kx+b与曲线相交与两点A（x,y）,B(x,y)，其弦长 d=== 这就是直线与圆锥曲线相交的弦长公式，弦长公式适用于椭圆、双曲线、抛物线、圆。因为它是根据两点间距离公式和直线方程推导而来，与曲线方程无关。 下面，我们再通过一个例子来学习点差法的运用。 例：已知椭圆，一条不过原点的直线与椭圆相交于A，B两点，A，B的中点为M，原点为O，设AB所在的直线斜率为K，OM所在的直线的斜率为K，证明K K为一个定值。 证明：设A（x,y）,B(x,y)，则中点M（） A、B点代入曲线方程得： 两式相减得： 即： 方程两边同时除以得 =0，所以K K=，为一个定值。 这就是“点差法”的运用，“点”指的是“中点”，“差”指两端点代入曲线方程后作差。“点差法”适用于中点问题，尤其是与斜率有关的中点问题，因为和能够整体求出。 三、圆锥曲线综合题常考类型 直