圆锥曲线的分类探讨周继业.docVIP

圆锥曲线的分类探讨 宜昌市第一中学 周继业 [摘要]圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，它体现了解析几何数与形的相互转化，展示了解析几何在计算方法上的特点和技巧，表现了辨证思想的丰富内涵.本文重点通过截痕和二元二次方程两种观点证明了二次曲线分类的惟一性，即有且仅有椭圆、抛物线、双曲线三种曲线。 [关键词] 圆锥曲线；截痕；二元二次方程； 预备知识：圆锥曲线的定义（椭圆、双曲线、抛物线） 椭圆 定义Ⅰ：若F1，F2是两定点，P为动点，且 （为常数）则P点的轨迹是椭圆. 定义Ⅱ：若F1为定点，l为定直线，动点P到F1的距离与到定直线l的距离之比为常数e（0e1），则P点的轨迹是椭圆，标准方程： . 双曲线 定义Ⅰ：若F1，F2是两定点，（为常数），则动点P的轨迹是双曲线。 定义Ⅱ：若动点P到定点F与定直线l的距离之比是常数e（e1），则动点P的轨迹是双曲线，标准方程： . 抛物线 定义：到定点F与定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线，即：到定点F的距离与到定直线l的距离之比是常数e（e=1）， 标准方程：. 1.圆锥曲线分类的惟一性 1.1截痕观点 我们取一空间坐标系≡ ,设有一条过原点的直线L和z轴的夹角为α， ，将L绕z轴旋转一周且保持α角不变，得到一个圆锥T，如图所示，可知圆锥T的方程为=，即：·. 另取一平面E和x轴平行且过定点（0，0，c），若E和圆锥的夹角为， ，可以得到平面E的方程为（z≠c），即：（如图1.1） 图1.1 则平面E与圆锥T的交线方程为： （1） 我们将原坐标系≡平移到新的坐标原点，使得的原坐标为（0，0，c），因此，空间中任意一点p(x,y,z)与新坐标（）之间的关系为(x,y,z)=（），代入（1）式得： （2） 在此基础上，我们再将坐标系≡绕轴旋转一个有向角，得到一个新坐标系≡，则空间中任意一点与新坐标之间的关系为： =，化简得到：=，将其代入（2）式得： ，即： （3） 显然，（3）式表示平面E和圆锥T的交线落在平面上，且交线轨迹方程为： （4） 因此圆锥曲线的分类问题转化为分析c＝0和c≠0两种情形：（结合预备知识） 1.1.1第一种情形（c≠0） 1）当=时，项的系数为0，图形为抛物线； 2）当＞时，项的系数为正数，图形为椭圆； 3）当＜时，项的系数为负数，图形为双曲线； 1.1.1第二种情形（c＝0） （4）式变为 1）当时，项的系数为0，图形为两条重合直线； 2）当＞时，项的系数为正数，图形为空间里的一个孤立点； 3）当＜时，项的系数为负数，图形为两条相交直线； 1.2二元二次方程观点 圆锥曲线的方程是一个二元二次方程式，我们任给一个二元二次方程式： （5） 该方程的图形一定是椭圆、抛物线或双曲线吗？我们针对b＝0和b≠0两种情形讨论： 1.2.1第一种情形b＝0 （5）式变为 （6） （1）.当ac=0时，我们称为抛物线型，其图形为抛物线（含退化情形：两条平行直线,两条重合直线及空集合）. （2）.当ac0时，我们称为椭圆型，其图形为椭圆或圆（含退化情形：孤立点与空集合）. （3）.当ac0时，我们称为双曲线型，其图形为双曲线（含退化情形：两条相交直线）. （1）.当ac=0时，令a≠0,c＝0(a＝0,c≠0),则（6）式变为： 即：，若e≠0，可得：，由预备知识可得到其图形为抛物线.若e＝0,可得：，在〉0，=0，〈0时，其图形分别为两条平行直线，两条重合直线及空集合. （2）.当ac≠0时，我们将原坐标系平移到新原点，令的原坐标为（h,k）,则平面上任意一点与新坐标之间的关系为：=，则（6）式变为： （7） 将（7）式整理后可得到与项的系数分别为：，可找到唯一的（h,k）使得（7）变为： （8）（取） 1）.当ac0时，①若，则（8）式变为： ．所以，在 〉0，〉0时，图形为椭圆或圆；在〈0，〈0时，图形为空集合.②若，则（8）式变为，其图形为孤立点. 2）.当ac0时，①若，则（8）式变为:，其图形为双曲线.②若，则（10）式变为:,其图形为两条相交直线. 1.2.2第二种情形 我们将原坐标系绕原点旋转一个有向角，得到新坐标系，因此，平面上任意一点与新坐标之间的关系为，代入（5）式得到： （9） 整理后得到项的系数为：= ，令：，有，因为在上为一一对应函数，所以在内必存