期权的二叉树定价模_[恢复] 2.ppt

2008 （2008年1月） 主要内容 一、期权的定义及分类 二、单期二叉树模型 三、单期二叉树模型的推广 四、多期二叉树模型 五、从二叉树模型到B-S公式 一.期权的定义及分类 1.期权的定义 金融衍生产品 到期日-----------t 敲定价格--------K 标的资产--------实物商品，公司股票，政府债券等 2.期权的分类 按买卖方向：看涨期权，看跌期权，双向期权 按执行方式：欧式期权，美氏期权 在本文中，主要考虑以股票为标的资产的欧式看涨期权（European call option） 。 一价律（ The law of one price ） 在无套利市场中，若两个投资组合具有相同的现金流收益，那么他们应该具有相 同的价格 二.单期二叉树模型 设单期市场无风险利率为r-1，期初 股价为S，在期末股价的变动有两种 可能：以概率q变为uS，以概率1-q 变为dS，那么以此股票为标的物， 敲定价为K的欧式买入期权期初的价 值C应该为多少？ 这个期权在到期日的价值为： 我们从卖方的角度出发，构造一个投资组合来对冲这个期权，这个组合包括x股股票和 面值为B的无风险债券，那么： 则： 既然这个投资组合能够完全复制期权，根据一价律，这个投资组合的价值就应该等于期权的价值，也就是说 如果我们记 ，则 值得注意的几点： 1..期权的价值与概率q无关 2. 期权的价值与投资者的风险偏好无关 3.期权的价值CS-K（否则很容易能够构造出套利） 4.u，r，d应满足urd 5.为了对冲期权，我们的投资组合中应包含 股标的物股票，其余的持有 无风险债券 三.单期二叉树模型的推广 * *在这一部分的论述和推导中，我们均采用连续复利的形式 1.二叉树模型的缺点: 在前面的推导中，我们假设在每期中股价的变化只有两种可能，这种情况下我们构造期权的对冲投资组合只需用股票和无风险债券即可。但是在现实中，股价的变化情况显然不可能如我们所假设的那样。例如：若股价在未来的变化有三种情形，则我们不可能用上述的投资组合形式来对冲期权。 2.单期二叉树模型的推广 我们作如下假设： 市场中可交易的资产数量：N（有限值） 时刻0，资产的价值： 时刻 t 时，市场可能的状态：n种，分别用1，2，3……n表示 时刻 t 时，资产的价值矩阵： ，其中 表示市场状态为j时第i种资产的价值。 时刻0时，持有的投资组合： ，其中 表示所持有的第i种资产的数量 时刻0时，投资组合的价值： 时刻 t 时，投资组合的价值： 为方便叙述，我们定义如下符号： 对一个向量x，我们记x 0，如果它的每个分量均为非负；记x0，如果它的每个分量均为非负，且不同时为0；记x 0，如果它的每个分量均为正。 定义1：若存在投资组合使得 0， 0或者 0, 0,则称市场中存在套利。 则称市场中存在套利。 定理1（资产定价基本定理）市场是无套利的等价于存在市场状态向量 证明：用泛函分析中的超平面分割定理可以证明此定理 3.市场状态向量的意义 记 ， ，设存在一个投资组合 能够复制到期收益为1的无风险债券，即 ，则 ，所以