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2.1.1 指数与指数幂的运算(二)
(一)教学目标
1.知识与技能
(1)理解分数指数幂的概念;
(2)掌握分数指数幂和根式之间的互化;
(3)掌握分数指数幂的运算性质;
(4)培养学生观察分析、抽象等的能力.
2.过程与方法
通过与初中所学的知识进行类比,得出分数指数幂的概念,和指数幂的性质.
3.情感、态度与价值观
(1)培养学生观察分析,抽象的能力,渗透“转化”的数学思想;
(2)通过运算训练,养成学生严谨治学,一丝不苟的学习习惯;
(3)让学生体验数学的简洁美和统一美.
(二)教学重点、难点
1.教学重点:(1)分数指数幂的理解;
(2)掌握并运用分数指数幂的运算性质;
2.教学难点:分数指数幂概念的理解
(三)教学方法
发现教学法
1.经历由利用根式的运算性质对根式的化简,注意发现并归纳其变形特点,进而由特殊情形归纳出一般规律.
2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后,进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律,并由特殊推广到一般的研究方法.
(四)教学过程
教学
环节教学内容师生互动设计意图提出
问题回顾初中时的整数指数幂及运算性质.
,
什么叫实数?
有理数,无理数统称实数.
老师提问,
学生回答.学习新知前的简单复习,不仅能唤起学生的记忆,而且为学习新课作好了知识上的准备.复习
引入观察以下式子,并总结出规律:>0
①
②
③
④
小结:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式,(分数指数幂形式).
根式的被开方数不能被根指数整除时,根式是否也可以写成分数指数幂的形式.如:
即:
老师引导学生“当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数作为指数的形式,(分数指数幂形式)”联想“根式的被开方数不能被根指数整除时,根式是否也可以写成分数指数幂的形式.”.从而推广到正数的分数指数幂的意义.数学中引进一个新的概念或法则时,总希望它与已有的概念或法则是相容的.形成
概念
为此,我们规定正数的分数指数幂的意义为:
正数的定负分数指数幂的意义与负整数幂的意义相同.
即:
规定:0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义.
说明:规定好分数指数幂后,根式与分数指数幂是可以互换的,分数指数幂只是根式的一种新的写法,而不是
学生计算、构造、猜想,允许交流讨论,汇报结论.教师巡视指导.让学生经历从“特殊一一般”,“归纳一猜想”,是培养学生“合情推理”能力的有效方式,同时学生也经历了指数幂的再发现过程,有利于培养学生的创造能力.深化
概念
由于整数指数幂,分数指数幂都有意义,因此,有理数指数幂是有意义的,整数指数幂的运算性质,可以推广到有理数指数幂,即:
(1)
(2)
(3)
若>0,P是一个无理数,则P该如何理解?为了解决这个问题,引导学生先阅读课本P57——P58.
即:的不足近似值,从由小于的方向逼近,的过剩近似值从大于的方向逼近.
所以,当不足近似值从小于的方向逼近时,的近似值从小于的方向逼近.
当的过剩似值从大于的方向逼近时,的近似值从大于的方向逼近,(如课本图所示)
所以,是一个确定的实数.
一般来说,无理数指数幂
是一个确定的实数,有理数指数幂的性质同样适用于无理数指数幂.无理指数幂的意义,是用有理指数幂的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小.
思考:的含义是什么?
由以上分析,可知道,有理数指数幂,无理数指数幂有意义,且它们运算性质相同,实数指数幂有意义,也有相同的运算性质,即:
让学生讨论、研究,教师引导.通过本环节的教学,进一步体会上一环节的设计意图.应用
举例例题
例1(P56,例2)求值
;;;.
例2(P56,例3)用分数指数幂的形式表或下列各式(>0)
;;.
分析:先把根式化为分数指数幂,再由运算性质来运算.
解:;
;
.
课堂练习:P59练习 第 1,2,3,4题
补充练习:
1. 计算:的结果;
2. 若
.
学生思考,口答,教师板演、点评.
例1解:
①
;
②
;
③
;
④
.
例2分析:先把根式化为分数指数幂,再由运算性质来运算.
解:
;
;
.
练习答案:
1.解:原式=
==512;
2.解:原式=
=.通过这二个例题的解答,巩固所学的分数指数幂与根式的互化,以及分数指数幂的求值,提高运算能力.归纳
总结1.分数指数是根式的另一种写法.
2.无理数指数幂表示一个确定的实数.
3.掌握好分数指数幂的运算性质,其与整数指数幂的运算性质是一致的.
先让学生独自回忆,然后师生共同总结.巩固本节学习成果,使学生逐
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