欧氏几何教学之困与线串通之策.doc

欧氏几何教学之困与一线串通之策 赖 虎 强 邮箱：cdyazx@126.com 前苏联数学家A·A·斯托利亚尔曾说：“几何教学问题仍然是中等数学教育现代化最复杂的问题之一。它引起了广泛的、世界性的争论，并且出现了许多的方案”。 对于几何教改，张景中院士提出了“重建三角，全局皆活”的主张，倡导代数、三角与几何一线串通。这一几何教改方案的核心是重建正弦概念，将与正弦相关的高中三角形面积公式、正弦定理、余弦定理、正弦和角公式作为核心推理工具，以此构建初等数学知识。张景中新著《一线串通的初等数学》，即是这一思想的体现。 本文从张景中教育数学的视角，试谈谈欧氏几何教改之策。 一、“教育数学”关注几何教改 1999年10月，《国家数学课程标准研制工作研讨会纪要》提出几何教学的困境：“大量的教学实践表明，平面推理几何是一把“双刃剑”，一方面有大约20%~30%的初中生因为学习平面推理几何，从此走上了数学和科学研究之路；另一方面，有不少学生在遭遇平面推理几何之后，丧失了对数学的学习兴趣，乃至失去了对学校教育的信心。”时至今日，这一困境并未根本好转。 如何提高学生学习几何的“通过率”？不少专家开出的“处方”是：减少几何教学内容，弱化“证明”与“推理”。其实，这是一种遇到困难“绕道走”的方式，并未解决根本问题。 如果我们将几何教改的目光只聚焦于几何内部，有路可走吗？欧氏几何历经两千多年，已有无数数学家对此进行过精心的审视，在内部显然已无较大的创新空间。 几何难学，问题出在何方？是学生智力不够？还是本身的系统设计有问题？ 在《从数学教育到教育数学》一书中，张景中精辟论述道： “学习一门课程，好比游览一个城市；课程的逻辑体系，就好比城市的交通系统。好的交通系统，应当有‘放射型’的交通中心。交通中心应该四通八达，找到它，我们到哪儿都方便。而欧几里得的几何体系呢？它没有一个突出的中心，没有一个能让学生俯瞰全局的制高点。它的逻辑结构是串联式而不是放射型的。《几何原本》的每一节都很重要，任何一部分没学好，往前走的路就断了，这就是串联式的逻辑结构的特征……欧几里得为我们留下一个美丽但相对封闭的花园。它拥有丰富的习题，但并不准备为姐妹课程——代数提供复习、巩固、提高的用武之地。它更没有暗示我们解析几何与高等数学即将出现。这一切确实令人遗憾。” 这一论述，已揭示问题的关键所在。欧氏几何，自身结构存在问题。传统几何教改，只局限于内部改革，缺少与代数、三角的联系与统一。 《几何原本》的问世，标志着数学领域中公理化体系的诞生。欧几里得从23个概念，5条公设和5条公理出发，推导出了467条定理。沿着《几何原本》学习几何，对不少初学者来说，非常吃力，也非常枯燥。学好《几何原本》，意味着首先要理解23个概念，5条公设和5条公理。 光靠砍掉几何定理的方法，推动数学教改，不是解决问题的根本办法。我们透过现象，可以找到几何难学的根本原因：起点过于繁琐，推理工具过于复杂。 二、面积折扣释正弦 传统的欧氏几何学习路径，沿着“‘三线八角’→三角形内角和定理→三角形→四边形→圆”。在不少人的观念中，这样的顺序不能颠倒。其实，这是一种误区。 中国古典几何，以矩形面积公式为逻辑起点。用四边形认识三角形，与欧氏几何用三角形认识四边形刚好相反。小学面积公式的学习体系，为我们提供了用四边形认识三角形的范例。 目前，初中代数中的整式乘法、因式分解、完全平方公式、平方差公式等，仍然以矩形面积公式（正方形面积公式）进行解释。 初中的几何，能否继续沿用矩形面积公式这一路径呢？ 将平行四边形活动框架的边固定在木板上，以点为顶点，为一边，画一个量角器。当夹角是直角时，设矩形的高为，并将高十等分。利用四边形的不稳定性，我们观察到：夹直角时平行四边形面积最大；以点为观察点，当夹角变为锐角，或钝角时，平行四边形的面积变小，可看作是矩形面积的折扣。 在数学上，科学计算器上的正弦键，可以帮助我们研究面积的折扣率。 例如： 夹角等于的平行四边形面积的折扣率：； 夹角等于的平行四边形面积的折扣率：； 夹角等于的平行四边形面积的折扣率：； 夹角等于的平行四边形面积的折扣率：； …… 在张景中创设的教育数学新体系中，平行四边形面积新公式是教育数学的逻辑起点。 从动态的角度，我们也可以这样理解平行四边形新面积公式。一不小心，矩形可以“挤压”成平行四边形，显然，面积减小了。若夹角等于，它的折扣率就是正弦。 用两个一样大的三角形，可以拼出一个四边形。根据“两组对边