求解函数解析式的几常用方法.doc

5 求解函数解析式的几种常用方法 高考要求 求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视 本节主要帮助考生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力 重难点归纳 求解函数解析式的几种常用方法主要有 1、换元法：已知的表达式，欲求，我们常设，从而求得，然后代入的表达式，从而得到的表达式，即为的表达式。 2、待定系数法 若已知的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得的表达式。 3、凑配法 若已知的表达式，欲求的表达式，用换元法有困难时，（如不存在反函数）可把看成一个整体，把右边变为由组成的式子，再换元求出的式子。 4、消元法 若已知以函数为元的方程形式，若能设法构造另一个方程，组成方程组，再解这个方程组，求出函数元，称这个方法为消元法。 5、赋值法 在求某些函数的表达式或求某些函数值时，有时把已知条件中的某些变量赋值，使问题简单明了，从而易于求出函数的表达式。 另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法 典型题例示范讲解 例1 如果，那么f(x)=______________________. 例2 设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，且图像在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为，求f(x)的解析式。 例3 设y=f(x)是实数函数，且，求证：。 例4 已知，其中奇数，试求。 例5 已知，且求的表达式。 解：令,由已知得： 例6 (1)已知函数f(x)满足f(logax)= (其中a0,a≠1,x0),求f(x)的表达式 (2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=|f(－1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表达式 命题意图 本题主要考查函数概念中的三要素 定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力 知识依托 利用函数基础知识，特别是对“f”的理解，用好等价转化，注意定义域 错解分析 本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错 技巧与方法 (1)用换元法；(2)用待定系数法 解 (1)令t=logax(a1,t0;0a1,t0),则x=at 因此f(t)= (at－a－t) ∴f(x)= (ax－a－x)(a1,x0;0a1,x0) (2)由f(1)=a+b+c,f(－1)=a－b+c,f(0)=c 得 并且f(1)、f(－1)、f(0)不能同时等于1或－1， 所以所求函数为 f(x)=2x2－1 或f(x)=－2x2+1 或f(x)=－x2－x+1 或f(x)=x2－x－1 或f(x)=－x2+x+1 或f(x)=x2+x－1 例7设f(x)为定义在R上的偶函数，当x≤－1时，y=f(x)的图像是经过点(－2，0)，斜率为1的射线，又在y=f(x)的图像中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式，并在图中作出其图像 命题意图 本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图像的作法，对分段函数的分析需要较强的思维能力 因此，分段函数是今后高考的热点题型 知识依托 函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线 错解分析 本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱 技巧与方法 合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式 解 (1)当x≤－1时，设f(x)=x+b ∵射线过点(－2，0) ∴0=－2+b即b=2，∴f(x)=x+2 (2)当－1x1时，设f(x)=ax2+2 ∵抛物线过点(－1，1)，∴1=a·(－1)2+2,即a=－1 ∴f(x)=－x2+2 (3)当x≥1时，f(x)=－x+2 综上可知 f(x)=作图由读者来完成 例8已知f(2－cosx)=cos2x+cosx,求f(x－1) 解法一 (换元法） ∵f(2－cosx)=cos2x－cosx=2cos2x－cosx－1 令u=2－cosx(1≤u≤3),则cosx=2－u ∴f(2－cosx)=f(u)=2(2－u)2－(2－u)－1=2u2－7u+5(1≤u≤3) ∴f(x－1)=2(x－1)2－7(x－1)+5=2x2－11x+4(2≤x≤4) 解法二 (配凑法） f(2－cosx)=2cos2x－cosx－1=2(2－cosx)2－7(2－cosx）+5 ∴f(x)=2x2－7x－5(1≤x≤3), 即f(x－1)=2(x－1)2－7(x－1)+5=2x2－11x+14(2≤x≤4) 学生巩固练习 1 若函数f(x)=(x≠)