浅析中学竞赛数学中数论问题对学习初等数论的利与弊.doc

浅析中学竞赛数学中的数论问题对学习初等数论的利与弊 【内容摘要】 数论是竞赛数学中最重要的一部分，在各地的数学竞赛中，每年都会有数论的题型，可见其重要性。可是认真观察竞赛数学中的数论题型，却发现它与初等数论的内容既有联系又有区别。那么，学习或者参加数学竞赛对于学习初等数论为代表的高等数学是否有帮助，或者根本就不利于学习高等数学？现在，我们通过探讨竞赛数学中的数论知识与初等数论的联系与区别，来分析中学竞赛数学对于学习更高程度的数论知识的利与弊。 　　 【关键词】 中学竞赛数学中数论问题 初等数论 联系与区别 利与弊 中学竞赛数学与初等数论 随着数学竞赛的发展，已逐渐形成一门特殊的数学学科-竞赛数学，也可称为奥林匹克数学。将高等数学下放到初等数学中去，用初等数学的语言来表述高等数学的问题，并用初等数学方法来解决这些问题，这就是竞赛数学的任务。研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。是数论的一个最古老的分支。它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、不定方程、同余式等。的问题甚至解法的背景往往来源于某些高等数学。数学就其方法而言，大体上可以分成分析与代数，即连续数学与离散数学。很多国际数学奥林匹克的试题来自数沦、组合分析、近世代数、组合几何、函数方程等。定义：设是给定的数，，若存在整数，使得则称整除，记作，并称是的一个约数(因子)，称是的一个倍数，如果不存在上述，则称不能整除记作 。 由整除的定义，容易推出以下性质： (1)若且，则(传递性质)； (2)若且，则即为某一整数倍数的整数之集关于加、减运算封闭。若反复运用这一性质，易知及，则对于任意的整数有。更一般，若都是的倍数，则。或着，则其中； (3)若，则或者，或者，因此若且，则； (4)互质，若，则； (5)是质数，若，则能整除中的某一个；特别地，若是质数，若，则； (6)(带余除法)设为整数，，则存在整数和，使得，其中，并且和由上述条件唯一确定；整数被称为被除得的(不完全)商，数称为被除得的余数。若，即为被整除的情形。 此外，也常常直接利用初等数论的一般性理论来解决问题。又如最大公约数与最小公倍数： 定义1.（最大公约数）设不全为零，同时整除的整数称为它们的公约数。因为不全为零，故只有有限多个，我们将其中最大一个称为的最大公约数，用符号（）表示。显然，最大公约数是一个正整数。 定义2.（最小公倍数）设是两个非零整数，一个同时为倍数的数称为它们的公倍数，的公倍数有无穷多个，这其中最小的一个称为的最小公倍数，记作，对于多个非零实数，可类似地定义它们的最小公倍数［］。 例题：设是正整数，且，它们的最小公倍数是最大公约数的120倍，求。 解：设，则，其中且，于是。 所以即　　 由及（2）可得： 。 由（1）可知只能取 从而或29，故或。 ⒉中学竞赛数学中的数论问题与初等数论的区别。 虽然竞赛数学中的数论问题与初等数论有密切的联系，但是，竞赛数学又不同于数学领域。通常数学往往追求证明一些概括广泛的定理，而竞赛数学恰恰寻求一些特殊的问题，通常数学追求建立一般的理论和方法，而竞赛数学则追求用特殊方法来解决特殊问题为整数，，则存在整数和，使得，其中，并且和由上述条件唯一确定；整数被称为被除得的(不完全)商，数称为被除得的余数。易知，带余除法中的商实际上为（不超过的最大整数），而带余除法的核心是关于余数的不等式：。证明的基本手法是将分解为与一个整数之积，在较为初级的问题中，这种数的分解常通过在一些代数式的分解中取特殊值而产生，下面两个分解式在这类论证中应用很多，见例1、例2和例3. 若是正整数，则； 若是正奇数，则；（在上式中用代） 例1．证明：被1001整除。 证明： 所以整除。 例2．对正整数，记为的十进制表示中数码之和。证明：的充要条件是。 证明：设（这里，且），则，于是有　　　　　　① 对于，知，故①式右端个加项中的每一个都是9的倍数，从而由整除的性质可知它们的和也能被9整除，即。由此可易推出结论的两个方面。 例3．已知为正奇数，求证：。 证明：因为若是正整数，则； 若是正奇数，则； 　　所以，，从而； 　　　　，，从而； 　　　　，，从而； 又且，所以。 ⑵初等数论与竞赛数学中的数论问题是系统与分支的关系。竞赛数学为求解题便利，总结常用的性质的应用，而非系统地学习数论。 又如：整数整除性一些数码特征（即常见结论）,它用初等数学的语言总结特殊的应用题型，以便于解题。 （1）若一个整数的未位数字能被2（或5）整除，则这个数能被2（或5）整除，否则不能； （2）一个整数的数码之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除，否则不能； （3）若一个整数的未两位数字能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除，否则不能； （4）若一个整数的未三位数