浅析矩阵pade逼在模型降阶中的应用.doc

浅析矩阵型逼近在模型降阶中的应用 刘永 （上海大学，理学院，上海200444） 摘 要：本文通过探讨构造矩阵型逼近的行列式公式方法，将矩阵型逼近应用于频率域高阶的多变量输入输出的线性系统.在简化系统规模的同时，很好的保持了系统的性能. 关键词：矩阵型逼近；线性系统；行列式公式 Simply Analyze the Applications of Matrix Pade Type Approximation to Model Reduction LIU-YONG (College of Science，Shanghai University, Shanghai 200444, China) Abstract：By discussing the determinant formula of matrix pade approximation. This article applied the matrix pade approximation to the linear systems of high order frequency domain and inputting and outputting of multivariable. This method simplified the scale of the systems, simultaneously, the nature of this systems were preserved perfectly. Key words: Matrix pade approximation；Linear systems；Determinant formula 1 引言 大系统是控制系统领域里一个新兴的分支，它是近年来随着控制理论在工程和社会系统的应用日趋深入而发展起来的.当前对大系统的研究面临着一个非常棘手的问题：由于高阶次带来的数值问题，随着阶次的线性增加使计算量将以3次方或4次方关系增加.这就给计算带来了挑战.现在一般的处理方法是将大系统进行简化处理，把系统问题控制在我们能够计算的范围之内，而简化后的模型又不改变原系统的性态. Yuri Dolgin在[137]中研究了交换系统的模型简化问题,Zhuang在[138]中讨论了矩阵型逼近与控制系统模型简化的问题，给出了几种算法.本文探讨的就是简化后系统的计算问题，讨论了一种模型简化方法:矩阵型简化算法.文章利用矩阵型逼近的思想来计算大系统简化后的模型，所研究的对象为频率域高阶的多变量输入多变量输出的线性系统. 2 矩阵型逼近的行列式公式 下面考虑矩阵型逼近逼近的行列式公式[3]构造方法，设，矩阵和矩阵的直接内积定义为 . (1) 由矩阵型逼近的误差公式知 (2) 这里. 已知生成多项式由个系数组成，如果将生成多项式变为原幂级数的逼近是不变的，所以我们只需求出个系数即可，为此令 . (3) 即 . (4) 用并假设它不等于零与上式作内积得 . (5) 将与(5)式联合得 . (6) 由上面的分析这里我们令以确保是次多项式.从(6)中我们能很方便的解出. 然后再按照下式 . (7) 解出 . (8) 至此我们已经求出了的分子和分母，下面将利用(6)和(8)计算简化后的模型. 3 多变量线性系统的模型简化 对一个多变量定常线性系统，设它的状态空间的表达式为 . (9) 其中是维的状态向量，是维的控制向量，是维的输出向量. 对应的，该系统在频域内的表达式为 . (10) 其中是阶的传递函数矩阵，可以表示成下列形式 . (11) 其中是阶的常量矩阵，是常量. 接下来我们将写成下列幂级数的形式 . (12) 其中是阶常量矩阵，并且由下列关系式给出 . (13) 这里且. 我们的目地就是要找到一个阶数相对较低的函数去逼近.这里是阶常量矩阵. 是常量. 设是的一个矩阵逼近，那么利用上面的结论我们很容易看出有下面的关系式成立 . (14) 这样以来我们就通过矩阵型逼近的方法构造了多变量定常线性系统的简化模型，这种简化模型能有效的计算传递函数矩阵. 4 数值实验 考虑下列系统(Chen [6] ) 将展成幂级数形式 根据(13)计算