211指数概念的推广(二).docVIP

2.1.1 指数概念的推广（二） 教学目标： 　　1．了解正数的实数指数幂的概念及其运算规则。 2．不等关系：“a＞1，对于正整数n，an＞1”等，推广到指数为实数的情形。 教学重点： 领会幂指数由有理数扩充到实数的过程与方法。 教学难点： 掌握相关不等式的证明。 教学过程： 　　一、复习与练习 明确：扩充到有理指数幂时，对底数作出的限制和可以证明5条运算性质仍然适用。在此基础上，将例5（81页）作为课堂练习。 二、引入新课 1、我们已经知道下列知识： （1）正数的分数指数幂为正数； 　　　0的正分数指数幂为0；0的负分数指数幂没有意义。 （2）当n为正整数时 ①若a＞1则an＞1 ②若0＜a＜1则an＜1 那么（2）中的指数，对于任意正有理数，相应的不等关系式还成立吗？（交流作出的推测） 首先可以证明：a＞1则＞1（n∈N，n≥2） 证（反证法）假设≤1 ∵a＞1＞0故0＜（据（1）） ∵0＜≤1，∴（）≤1（据（2）②） 即a≤1，与已知条件a＞1矛盾 ∴＞1 进一步证明：a＞1则＞1（n,m∈N,m≥1,n≥2）＞1 　　故（）＞1（据（1）） 　　即＞1 综合起来得到：任意正有理数r，有 ①　a＞1　则ar＞1 ②　0＜a＜1　则ar＜1 上述②不难由①推出： ∵　0＜a＜1，　∴　＞1 （）r＞1，　即　＞1 ∴　ar＜1 当r为负有理数，a为正数时，类似可以得到怎样的不等关系式？你能证明吗？ （讨论后，阅读课本（80页），证明可在课后进行） 2、考察下列情形： （1）a＞1时，比较与的大小。 解：取正有理数r＝， a＞1，有＞1 由于　a＞1，　故a＞0， 　＞0（据（1）） ∴　　·＞　（在＞1两边同乘正数） 即　＞ 一般地　　，为正有理数，＜ 　　①　a＞1　则＜ ②　0＜a＜1　则＞ 你能证明吗？（课后进行） 3、正数的无理指数幂 在实际问题中，如讨论射线在介值中衰减时，得到传输函数R（X）＝（74－75页），屏蔽厚度X为无理数如X＝cm时，应当有确定的实数R（）＝存在。我们怎样理解正数的无理指数幂呢？ 以（a＞0）为例。不能理解，我们规定它是一个确定的实数。怎样确定这类实数呢？ （请同学发表自己的看法，然后阅读81页旁白） 我们知道＝1.414 213……，（屏幕展示） 1　　　＜　　＜　2 1.4　　＜　　＜　1.5 1.41　　＜　　＜　1.42 1.414　　＜　　＜　1.415 …　…　… 因此，有（屏幕展示） a　＜ a ＜ a2 a1.4 ＜ a ＜ a1..5 a1.14 ＜ a ＜ a1.42 a1.414 ＜ a ＜ a1.415 … … … 由于是一个无限不循环小数，上述过程可以无限进行下去并对的大小范围估计到任意的精确度。 a＞0时，中是任意某个无理数时，可以用“两面爽”的办法，由有理数指数幂逼近而被确定。这样任意a＞0，实数（X∈R）都有了定义。 可以证明：5条运算规则仍然成立，类似地，还有不等式： ①任意正实数X 　　a＞1则aX＞1，0＜a＜1则aX＜1； ②任意负实数X 　　a＞1则aX＜1，0＜a＜1则aX＞1； ③任意实数X1，X2，X1＜X2 　　a＞1则＜，0＜a＜1则＞。 三、小结： 1、我们把幂的指数从正整数经历一系列推广到实数，得到了实数次幂。其中 　　　　　　　＝a a a a……a（n个的连乘） 　　　　　　　＝1　　　　　（a≠0） 　　　　　　　＝　　　 （a≠0） 　　　　　　　＝　　　（a＞0） 　　　　　　　＝　　　（a＞0） 　　　　　　　，X是任意实数　（a＞0） 整数指数幂的5条运算规则，对于任意实数指数仍然成立（a＞0，b0） 相应的不等关系式，对于实数次幂仍然成立（a＞0）。 注意：随着指数概念的扩充，为什么对底数作出相应限制？ 2、根式与有理数指数幂可以互相转化，作统一处理，利于化简，方便运算。也为进一步学习指数函数，作好准备。 四、布置作业　　作业：练习　（82页）第6－8题 　　　（83页）习题1　第4－6题 关于本节课设计的一些想法 1、对教材的分析 （1）指数概念扩充的过程，正如法国数学家彭加勒曾提出，在科学理论的更迭中，真关系将通过溶化到更高级的和谐中而得从保留。 约简化、统一化也是一个重要数学思想。如指数幂的5条运算规则可以简化为3条（上节课中的思考题），不等关系式中第3条：任意实数X1，X2，X1＜X2 a＞1则＜， 0＜a＜1则＞ 令X1或X2中的一个取值为0，即可得到另外的不等关系式。 由此可知，它更基本。而且它蕴画了指数函数的单调性。正如果课本作出的分析，学习数学切忌死记硬背，机械推演，贵在联系贯通，举一反三