382解析几何中简化运算的策略.docVIP

解析几何中简化运算的策略 学了解几以后，大部分同学都有这样的感受：思路易得，结果难求。的确如此，运算量太大了，即使想通了，也算不出或者很难算出结果，这在很大程度上影响了同学们学习的信心，导致成绩再次出现明显的分化。其实，相当一部分解几问题的运算量与选择的解题方法有关，只要把握问题本质，精心构思，就可以获得简捷明快的解题方法，不仅简化或避免复杂的运算、提高效率，而且能训练思维、开发智力、增强信心。 下面谈谈解几中简化运算的常用策略，供参考。 回归定义，彰显本质 我们解决问题，总是希望寻找到最简单又不失本质的原理与方法，而这方面非“定义”莫属。只要对问题进行深刻挖掘，彰显本质，然后利用定义解题，达到巧思妙解。 例1， 设，为圆上的动点，且在线段上，满足，求点的轨迹方程 解：由想得到在上取点使，即取点， 则且， 根据圆的定义知：点的轨迹是以为圆心、半径为1的圆。 所以点的轨迹方程为： 评注：本题的常规思路是代入法，即设，，由于， 而 即 （1） （2） 例2．设是抛物线的焦点，直线过交抛物线于两点，点满足条件； 证明：以为直径的圆与抛物线的准线相切 若是抛物线上一点，且+的最小值为5，求的值 解：（1）设中点为，分别过点， 作准线的垂线，垂足分别为，由抛物线定义可知： ， 以为直径的圆与准线相切 过作于，交抛物线于点，则为所求。 ， 代入中， 评注：如果不用抛物线的定义，就势必用点到直线距离公式和两点间的距离公式，如（2）中，在求最小值时，遇到了两个根式函数和的最值问题，相当复杂。 例3．圆上动点与点的连线的垂直平分线交于点，求点的轨迹方程。 解： 连接，则，则， 点的轨迹是以为焦点，6为长轴长的椭圆。 点的轨迹方程为 （3） （4） 评注：在运算之前，先探讨出点轨迹就是一个确定的椭圆，然后运用椭圆的定义，直接写出方程，回避了求交点的复杂运算。 二、设而不求，整体推进 求交点需要解方程组，一般比较麻烦，若设出交点坐标，应用“点差法”或用韦达定理进行整体处理，可以避免求交点，简化运算。 例4， 设是圆外部一点，过作圆的两条切线，为切点，求证：直线的方程为。 解：设切点坐标为，则切线方程为，由于切线过， 所以，因为两点坐标均适合方程， 所以直线的方程为 评注：连接，则得四点共圆， 这个圆的直径为，方程为 AB即为两圆的共弦 方程为 ， 即 。 这个办法，同样也回避了求切点的坐标，相对也比较简单。 例5， 射线、方程分别为和，线段，它的两个端点分别在上移动，求中点的轨迹方程。 解：设，， ， 又设， 则，， 由得 即 所以， 评注：设出动点的坐标，利用中点的坐标公式和两点间距离公式，进行整体处理是本题获得简便解法的关键。 例6、设椭圆上存在两个不同的点、关于直线对称，试求实数的取值范围。 解：设，则有，两方程做差， 可得：-----（1）， 又设中点为M，则有， 又有代入（1）中得：-----（2） 又在直线上，----（3） 由（2）（3）得即 由于在椭圆里，所以有， 评注：与弦中点有关的问题通常可以设出弦端点的坐标，代入方程后作差，即“点差法”。 “点差法”中，与中点有关，与斜率有关，一箭双雕。 （6） （8） 例7、椭圆上有两个点，是原点，若的斜率之积为， 求证: 为定值。 求中点的轨迹方程。 解：（1）设则有 由（3）（4）得 （2）。设中点为M则有， ： 即 中点轨迹方程为 评注：设出坐标，进行整体处理，以简驭繁，出奇制胜。 三、动中求静，数形结合 运动是绝对的，静止是相对的。运动变化的事物，其中必有不变的因素，而这不变的因素常常是解决问题的突破口，动中求静是我们解题的一个策略。数无形少直观，形无数难入微，数形结合相得益彰。 例8、已知直线与直线相交于点，且点在第一象限，求实数的取值范围。 解：动直线经过定点Q（-2，-1），定直线与轴交点分别为. 欲使点在第一象限，必须，即， 评注：动中窥定，再利用几何直观是本题简化运算的关键。而求出交点坐标，再解不等式组，其运算量太大。 例9、已知、，分别以为圆心，以2和1为半径作圆和圆，求两圆外公切线交点的坐标。 解：设外公切线(、为切点)与连心线的交点为P(即为外公切线的交点)。 则有：。 而、。由定比分点公式得：。 评注：求出两条外公切线，然后求出交点P的坐标，思路自然，运算很繁琐，。而运用图形性质，显得“柳暗花明”。 例10、设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两