谢金星数学建模讲座(谢金星)详解.ppt

2007B命题背景 奥运相关的题目：(时代特性, 社会关注） 让运动员及时到达场馆（车辆调度，路径安排等） 应急管理（紧急疏散，应急调度等） 赛程安排（单一项目，多个项目） 成绩排名（如循环赛，体操或跳水等） 技术类，如“刘翔的运动鞋” 乘公交，看奥运：原名“自动问路机” 方沛辰（吉大），吴孟达（国防科大）提出 原拟作乙组题，似乎难度太大 命题背景 定位：公交路线选择（查询）模型与算法 如何给数据？ 抽象数据／实际数据？（减小规模，不给地理信息） 貌似简单，实则不然 数据处理（转换）方面有一定难度 换乘次数多时简单有哪些信誉好的足球投注网站不易（计算复杂度高） 换乘时间／步行时间等需要考虑周全 标准的最短路算法（如Dijkstra算法）并不适用 乘公交，看奥运 公交线路选择问题的自主查询计算机系统：核心是线路选择的模型与算法 应该从实际情况出发考虑，满足查询者的各种不同需求 1: 仅考虑公汽线路，给出任意两公汽站点之间线路选择问题的一般数学模型与算法 2: 同时考虑公汽与地铁线路，解决以上问题 3: 假设又知道所有站点之间的步行时间，给出任意两站点之间线路选择问题的数学模型 　【附录1】基本参数设定 相邻公汽站平均行驶时间(包括停站时间)： 3分钟 相邻地铁站平均行驶时间(包括停站时间)： 2.5分钟 公汽换乘公汽平均耗时： 5分钟(其中步行时间2分钟) 地铁换乘地铁平均耗时： 4分钟(其中步行时间2分钟) 地铁换乘公汽平均耗时： 7分钟(其中步行时间4分钟) 公汽换乘地铁平均耗时： 6分钟(其中步行时间4分钟) 公汽票价：分为单一票价与分段计价两种，标记于线路后；其中分段计价的票价为：0～20站：1元；21～40站：2元；40站以上：3元 地铁票价：3元（无论地铁线路间是否换乘） 推论：换乘公汽等待３分钟，换乘地铁等待２分钟 　【附录2】公交线路及相关信息 （见数据文件） 线路数据中的问题 　线路数据中的异常或不明确之处，同学可根据自己的理解作出假设和处理，一般不会影响实例的计算结果 个别线路相邻站点名相同，可去掉其中一点或不作处理等 L406未标明是环线，是否将其当作环线处理均可 L290标明是环线，但首尾站点分别为1477与1479，可将所有线路中1477与1479统一为1477后计算。同学也可以按照各自认为合理的方式处理，包括不当作环线，或将1479改为1477，或在1479后增加1477，等等 如果在假设中有明确约定，则环线单向或双向发车均应认可（按单向发车作假设，计算结果可能差些） 对通过地铁换乘的理解 “假设同一地铁站对应的任意两个公汽站之间可以通过地铁站换乘(无需支付地铁费)”　 步行：公汽站?地铁站（通道）?公汽站 换乘耗时11min：步行4+4=8min; 等车3min 第１问（只考虑公汽）：可不考虑以上换乘 有同学也考虑了如上换乘，只是不坐地铁，应该也可以 此样处理时，第１问和第２问的难度相近 模型的目标 多目标优化问题（至少考虑三方面） 换乘次数最少(N)、费用最省(M)、时间最短(T) 从该问题的实际背景来看，加权太合适 不少同学用层次分析法确定权 不少同学计算时间的价值（平均收入／工作时间） 不同目标组合的模型 三个目标按优先级排序，组合成六个模型 也可将某些目标作为约束 多数队仅采用有哪些信誉好的足球投注网站法（70-80%?） 直达； 　一次换乘；　 二次换乘；　… 多数队仅采用有哪些信誉好的足球投注网站法 总体来看，技术含量较低（基本上是枚举） 几乎没有建模，完全只有算法实现，算法也没什么创新 一般只考虑不超过两次换乘 不少文章引用参考文献作为依据，实用中似乎够用 题目难度大大降低，模型不够一般 换乘作为了第一目标，或作为一个最重要的约束 任意次换乘时算法复杂度提高，难以处理 结果不佳（如：从省时考虑，有些需３－４次换乘） 图论模型与最短路算法 用图论做的队也不少，但往往考虑不周 弧上赋权方式交代不清 套用Dijkstra或Floyd-Warshall算法，却不清楚其原理及适用的问题 需要建立一个带权有向图，节点表示站点，有向弧表示前一站点能够直达后一站点，弧上的权表示前一站点直达后一站点所需付出的代价(时间或费用) 图（网络）如何描述和表示？ 基本要素：节点，有向弧（边），弧上赋权 邻接矩阵；关联矩阵（数学上处理方便，存储量较大） 链表（存储量较小，计算机上处理方便） 关联矩阵(Incidence Matrix)表示法 邻接矩阵(Adjacency Matrix)表示法 链表（邻接表）表示法 Example Floyd-Warshall算法的具体实现: O(n3) Floyd-Warshall算法的矩阵迭代法实现：O(n4) 问