群论第1章讲述.ppt

群论基础 参考书目 《量子化学 》李俊筏、田安民 《群论在化学中的应用》 F.A 科顿 《量子化学基本原理和从头计算法》 上册 徐光宪 《群论和化学》 O.M 毕校普（美） 中译本 《群论与现代化学入门》 周宏应 《群论基础及化学应用》 肖鹤鸣 《群论与分子对称性》 誉文德 《结构化学基础》 周公度 加罗瓦和群 加罗瓦（1811-1832）是近代法国优秀的数学家，可惜二十一岁那年就战死在爱情的决斗场上。十四年后，他的数学群论得到世人的理解，被公认为是近代代数的里程碑。 加罗瓦的数学“群论”萌生于中学时期，那时他才十七岁。在处理五次方程的代数解法时，首次提出了“群”的概念。这种对于数学世界崭新描述的横空出世，虽然解决了当时困扰数学界三百年之久的难题，但没人去相信他。因为他的年龄太小了，人们不相信他会有这样的创建，另外这个创建也超出当时数学界学者的素养太远了，根本就无法让人接受。 当他的遗稿真正被数学界认可的时候，数学家拉格郎承认说加罗瓦的群论是在“向人类的智慧挑战”。 群论与化学 群论：近代数学的一个分支，是研究集合的结构、表示及其应用的数学理论，是研究对称性的最好工具。 化学所研究的对象往往具有一定的对称性及对应的性质（光谱、波函数、化学反应、量化应用…）。 应用用群论方法来表达、讨论分子对称性 化学性质 引导我们进入分子内部，实现从直观到微观的探索 群论：研究对称性的数学工具 研究化学问题 对称性和化学性质的关系 熟悉和掌握群论的基础知识,有助于对现代化学进行深入研究,否则就会出现一定的障碍,甚至阅读文献也会成为难题。 与推导群论理论相反，实际应用群论所涉及的数学是很平常的，通常无需了解公式从何而来，按例行方法填入必要的公式即可应用。 本课程侧重于弄清基本概念和结论，掌握方法，不追求理论的完善和推导过程的严密。 1.1 矩阵的定义 由m×n个数aij （i=1 … m，j=1 … n）排成m行n列的表，遵循一定的运算法则，如： 第一章 群论中的矩阵基础 既叫做矩阵A 注意：矩阵不是数值，而是按一定顺序排列的数表。 可简写为： 其中的每个数aij称为矩阵A中的i行第j列的矩阵元 由m行和n列数组成的矩阵，可以表示为： 矩阵的行数m和列数n可以不等 当m=n时， n阶方阵 m×n型矩阵： Am×n 或 (aij)m×n n=1 列矩阵 m=1 行矩阵 ③表达形式不同： 矩阵与行列式 矩阵与行列式不同： 矩阵是数表（向量）,不可求值 ① conception： 行列式是数（标量），可求值。 ②行数和列数： 矩阵的m和n数可以不等，但行列式必须相等，只有方阵才有行列式。 矩阵以括号表示，行列式以平行斜线表示 ⑴ 矩阵相等： ⑵ 矩阵的加减法 ⑶ 矩阵的数乘（λ为任意数） 若：A=(aij) B=(bij) 为同型矩阵 则： A±B=(aij±bij) A=B aij=bij 同型矩阵对应元相等 λA= Aλ =(λaij)， 每个矩阵元与数相乘 1.2 矩阵的运算 当矩阵Am×n 与Bn×p , 前者的列数=后者的行数，则： A和B可乘， ⑷ 矩阵间的乘法 列数关系：（m，n）×（n，p）=（m，p） 矩阵元：第一矩阵A的各行按向量乘法依次乘以第二矩阵B的各列 设乘积矩阵: Cm×p=Am×n×Bn×p ， A的第i行乘以B的第j列，得C的第ij元 设其中， 例1: 两个以上矩阵相乘，只能多次运用乘法规则，一次将一对矩阵相乘，如： Dm×P=Am×n×Bn×s×Cs×p 例2，用简洁的形式表示方程组: 或： a11y1+a12y2+a13y3=x1 a21y1+a22y2+a23y3=x3 a31y1+a32y2+a33y3=x3 ｛ 利用乘法规则可写成： ① 一般不满足交换律 AB≠BA ② 满足结合律 ABC=(AB)C=A(BC) ③ 满足分配律 （A+B)C=AC+BC 矩阵乘法的运算规律 对角矩阵和分块对角矩阵的乘法 ① 对角矩阵 两个对角矩阵相乘还是对角矩阵，其主对角线上的元是两个对角矩阵主对角线上对应元的乘积 ② 分块对角矩阵 其中Ai和Bi（i＝1，..n）是同阶小方阵， 则： 两个方块形式相同的矩阵相乘时，每个矩阵中的对应方块独立于其余方阵而加以考虑，乘积矩阵以乘因子相同的形式分为方块 矩阵的除法是经过一个逆过程来完成（矩阵与逆矩阵相乘） ⑸ 矩阵的“除法” A/B=AB-1 ⑴ 对角矩阵：只有主对角线上有非零元素的方阵 1.3 n种特殊矩阵 ⑵ 单位矩阵（恒等矩