考研数学重要公式讲述.doc

高等数学重要定理及公式 作者：电子科技大学 通信学院 张宗卫 说明：本文档是笔者在考研过程中花费将近一个月的时间，总结得出的数学（一）重要公式及一些推论，并使用word及MathType输入成文，覆盖了微积分、线性代数、概率论这些课程。因为时间有限，难免存在一些输入错误，请读者仔细对照所学知识，认真查阅。 线性代数重要公式 矩阵与其转置矩阵关系： 矩阵行列式： 矩阵与其秩： 4.齐次方程组：非0解线性相关 5.非齐次方程组：有解线性表出 6.相似与合同：相似—n阶可逆矩阵A,B如果存在可逆矩阵P使得则A与B相似，记作：；合同—A,B为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵C使得则称A与B合同。（等价，A与B等价—A与B能相互线性表出。） 7，特征值与特征向量：，求解过程：求行列式 中参数即为特征值，再求解即可求出对应的特征向量。矩阵A的特征值与A的主对角元及行列式之间有以下关系：。上式中称为矩阵的迹。 特征值特征向量、相似之间的一些定理及推论：实对称矩阵A的互异特征值对应的特征向量线性无关；若n阶矩阵的特征值都是单特征根，则A能与对角矩阵相似；n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对于A的每一个重特征根，齐次方程组的基础解析由个解向量组成即对应每一个重特征根。 实对称矩阵的特征值都是实数，如果A为一个实对称矩阵，那么对应于A的不同特征值的特征向量彼此正交。任意n阶实对称矩阵A都存在一个n阶正交矩阵C，使得为对称矩阵。 施密特正交矩阵化方法：一般地，把线性无关向量组化为与之等价的标准正交向量组的施密特正交过程如下： 再令： 则是一组与等价的标准正交向量组。 正交矩阵的定义：如果实矩阵A满足：则称A为正交矩阵。 设A，B为n阶方阵，如果存在可逆矩阵C，使得，则称A与B合同。 用正交变换化二次型为标准型步骤： 写出二次型对应的对称矩阵A； 求A的特征值和特征向量，（）； 将特征向量正交化（实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量彼此正交，多重特征根在取特征向量时尽量取正交向量，方便计算）、单位化得 令 ， ，则，是正交变换，且。 14.如果任一非零向量X都使得二次型，则称之为正定二次型，对应的矩阵A为正定矩阵。二次型为正定矩阵的充要条件是矩阵A的特征值全部为正实数、正惯性指数是n、矩阵A与E合同、矩阵A的顺序主子式全大于零，且以上条件等价。 概率论与数理统计重要知识点及公式： 条件概率：如果,则A与B独立。 常用概率公式：（对于给定如：这样的条件，常常通过画图（如下图）来解决，直观明了） 全概率公式： 贝叶斯公式：（结合条件概率公式和全概率公式推导而出） 几个重要分布： 二项分布（n次重复，伯努利类型）： 泊松分布：二项分布当m,很大，p很小且时， 均匀分布： 指数分布： 正态分布： 随机变量的数字特征： 数学期望：存在前提，要绝对可积，那么， ； 方差： 期望性质：，X，Y独立则 方差性质：,若X，Y相互独立则.。 常用分布数字特征： (0,1)分布 b（n，p）二项分布 泊松分布 均匀分布： 指数分布： 正态分布： 协方差： 定义式 计算式 性 质 ： 相关系数： 几种特殊函数的分布问题： 极值分布 b）和的分布：Z=X+Y分分布函数是 一般的X与Y相互独立，且，则，其概率密度公式为： 。 c）商的分布 分布函数是： 参数估计： 矩估计方法：构造关于参数组成的k阶原地矩与样本k阶原点矩之间的等式关系： ，解此方程组解为就作为的矩估 计。 b） 极大似然估计方法：基本思想是按照最大可能性的准则进行推断，把已经发生的事 件，看成最可能出现的事件，即认为它具有最大的可能性。 求法，写出最大似然函数,并求最大似然函数的最大值点，一般取最大似然函数的 对数方便运算，即求解如下的似然方程组，似然方程组 的解可能不唯一，这时需要微积分知识进一步的判定哪一个是最大值点，若似然函 数关于参数的导数不存在时，就无法得到似然方程组，因此必须回到极大似然股及 的定义式直接求解。 矩估计的优良性：若则称是的无偏估计量，若是的无偏估计量，且则称为的最小无偏估计量。 数理统计概念：（样本均值） （样本方差） （样本k阶原点矩） （样本k阶中心矩） 三个重要分布： 设n个相互独立并且都服从正态分布的随机变量记 则称随机变量服从自由度为n的分布。对于给定的正数a(0a1),称满足关 系式的数为的上侧临界值或上 侧分位数。 性质： 设相互独立，且则有 b） 设随机变量X与Y相互独立，，记 则随机变量T服从自由度为n的t分布。 c） 设随机变量X,Y相互独