运筹04整数线性规划详解.ppt

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Chapter4 整数线性规划; 货物 体积(米3/箱) 重量(百公斤/箱) 利润(千元/箱) 甲 5 2 20 乙 4 5 10 装运限制 24 13 ;例4.2 背包问题;解:Xi为是否带第 i 种物品;(1)、 Xi为i 物品携带数量 ai为i 物品单位重量 ci为i 物品重要性估价 b为最大负重;2 整数规划的特点及应用;整数线性规划问题的种类:;整数规划的典型例子;解:这是一个物资运输问题,特点是事先不能确定应该建A3还是A4中哪一个,因而不知道新厂投产后的实际生产物资。为此,引入0-1变量:;混合整数规划问题;例4.4 一位旅行者出发前准备在自己的背包里携带必需的物品,已知可供选择的物品有n种,第j种物品的重量为 公斤,其价值为 ,若背包所带物品的总重量不得超过b公斤,问他应如何选择所带物品,以使总价值最大。 ;解:设 则背包问题的数学模型如下:;例4.5 现有资金总额为B。可供选择的投资项目有n个,项目j所需投资额和预期收益分别为aj和cj(j=1,2,..,n),此外由于种种原因,有三个附加条件: 若选择项目1,就必须同时选择项目2。反之不一定 项目3和4中至少选择一个; 项目5,6,7中恰好选择2个。 应该怎样选择投资项目,才能使总预期收益最大。;解:对每个投资项目都有被选择和不被选择两种可能,因此分别用0和1表示,令xj表示第j个项目的决策选择,记为:;例4.6 指派问题或分配问题。人事部门欲安排四人到四个不同岗位工作,每个岗位一个人。经考核四人在不同岗位的成绩(百分制)如表所示,如何安排他们的工作使总成绩最好。;设 ;每项工作只能安排一人,约束条件为:;整数线性规划问题数学模型的一般形式:; 松弛问题:不考虑整数条件,由余下的目标函数和约束条件构成的规划问题称为该整数规划问题的松弛问题;整数规划问题的松弛问题 (1)整数规划问题的可行解是松弛问题的可行解吗? (2)松弛问题的最优解就是整数规划问题的最优解吗?(否) (3)松弛问题的最优解经过整化处理后就是整数规划问题??最优解吗?; 整数规划问题的可行解集合是它的松弛问题可行解集合的一个子集, 因此整数规划问题的可行解一定是它的松弛问题的可行解,反之不一定。 整数规划问题的最优值不会优于它松弛问题最优值。;例4.7:设整数规划问题如下 ;用图解法求出最优解为:x1=3/2, x2 = 10/3,且有Z = 29/6; 因此,可将集合内的整数点一一找出,其最大目标函数的值为最优解,此法为完全枚举法。如上例:其中(2,2)(3,1)点为最大值值点,Z=4。;整数规划问题的求解方法: 目前,常用的求解整数规划的方法有: 割平面法、 分支定界法 完全枚举法 ;例4.8 设整数规划问题如下;用图解法求出最优解为:x1=3/2, x2 = 10/3,且有Z = 29/6;整数规划问题的求解方法:;分支定界法可用于解纯整数或混合的整数线性规划问题。在20世纪60年代初由Land Doig和Dakin等人提出。由于这方法灵活且便于用计算机求解,所以现在它已是解整数线性规划的重要方法。 设有最大化的整数线性规划问题A,与它相应的线性规划为问题B,从解问题B开始,若其最优解不符合A的整数条件,那么B的最优目标函数必是A的最优目标函数z*的上界,记作;而A的任意可行解的目标函数值将是z*的一个下界。分支定界法就是将B的可行域分成子区域(称为分支)的方法,逐步减小和增大,最终求到z*。现用下例来说明: ;求解 max z=40x1+90x2 ① 9x1+7x2≤56 ② 7x1+20x2≤70 ③ x1,x2≥0 ④ x1,x2整数 ⑤ ;解 先不考虑条件⑤,即解相应的线性规划B,①~④(见图5-2),得最优解x1=4.81,x2=1.82,z0=356 ;分支定界法的解法;图5-3;显然没有得到全部变量是整数的解。因z1>z2,故将 改为349,那么必存在

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