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第三章 数学运算 本章将着重介绍MATLAB中与数学运算有关的函数和概念。 在MATLAB中一切数据均能以矩阵的形式表示： 针对矩阵整体的数学运算，称之为矩阵运 算； 针对矩阵元素的数学运算，称之为矩阵元 素运算。 目录 3.1 矩 阵 运 算 3.2 矩阵元素运算 习 题 3.1 矩 阵 运 算 3.1.1 矩阵分析 3.1.2 线性方程组 3.1.3 矩阵分解 3.1.4 矩阵的特征值和特征向量 3.1.5 矩阵相似变换 3.1.6 非线性运算 矩阵运算是线性代数中极其重要的部分，MATLAB具有强大的矩阵运算能力。 3.1.1 矩阵分析 1．向量间的距离 2．矩阵的秩 3．矩阵的行列式 4．矩阵的迹 5．矩阵的化零矩阵 6．矩阵的正交空间 7．矩阵的简化梯形形式 8．矩阵空间之间的角度 MATLAB提供的部分矩阵分析函数如下表所示。 1．向量间的距离 2．矩阵的秩 矩阵A中线性无关的列向量个数称为列秩，线性无关的行向量个数称为行秩。可以证明列秩与行秩是相等的。 3．矩阵的行列式 4．矩阵的迹 矩阵的迹定义为矩阵对角元素之和。在MATLAB中用函数trace()来计算矩阵的迹。 5．矩阵的化零矩阵 对于非满秩矩阵A，若存在矩阵Z使得AZ?=?0且ZTZ?=?I，则称矩阵Z为矩阵A的化零矩阵。在MATLAB中用函数null()来计算矩阵的化零矩阵。 6．矩阵的正交空间 矩阵A的正交空间Q满足QTQ?=?I，且矩阵Q与A具有相同的列基底。 7．矩阵的简化梯形形式 矩阵A的简化梯形形式为 ，其中Ir为r阶单位矩阵。 8．矩阵空间之间的角度 矩阵空间之间的角度代表具有相同行数的两个矩阵线性相关程度，夹角越小代表线性相关度越高。 3.1.2 线性方程组 线性方程组求解问题，可以表述为给定两个矩阵A和B，求解X使得AX=B或XA=B。XA=B可以表示为A’Y=B’，且X=Y’。下面仅讨论AX=B的情况。 3.1.3 矩阵分解 1．Cholesky分解 2．LU分解 3．QR分解 4．奇异值分解 5．Schur分解 矩阵分解是把一个矩阵分解成比较简单或者对它性质比较熟悉的若干矩阵的乘积的形式。 本小节将介绍几种矩阵分解的方法。 矩阵分解函数表 1．Cholesky分解 Cholesky分解是把对称正定矩阵A表示为上三角矩阵R的转置与其本身的乘积，即A?=?RTR。 对于稀疏矩阵，MATLAB中用函数cholinc()计算不完全Cholesky分解，具体用法如下： R = full(cholinc(sparse (X),DROPTOL))，其中DROPTOL为不 完全Cholesky分解的丢失容限； R = full(cholinc(sparse (X),‘0’))，完 全Cholesky分解。 2．LU分解 高斯消去法又称LU分解， 将任意一个方阵A分解为一个交换下三角 矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即 A=LU。 交换下三角矩阵为下三角矩阵经行变换的 结果。 LU分解在MATLAB中用函数lu()来实现，具体用法如下： [L,U] = lu(X)，X为一个方阵，L为交换 下三角矩阵，U为上三角矩阵，满足关系 X=L*U； [L,U,P] = lu(X)，X为一个方阵，L为下 三角矩阵，U为上三角矩阵，P为置换矩 阵，满足关系P*X = L*U或X =P-1 *L*U。 考虑线性方程组AX=B和矩阵A的LU分解，线性方程组可改写成L*U*X=B，由于左除算符\可以快速处理三角矩阵，因此： X=U\(L\B) 矩阵的行列式和逆也可以利用LU分解来计算