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第三章 静电场边值问题的解法 本 章 内 容 补充：标量格林定理 证明：第一定理 证明：第二定理 证明（反证法）： 【例2.1.1 】两个同心导体球壳之间充满两种介质。内导体带电，电荷量为Q，外导体球壳接地。求介质中的场强。 象电荷求解方法2 等效问题 要使边值问题相同球面上的电位应为零 * * *第三章 静电场边值的解法 * 什么是静电场的边值问题 一个已知有界区域中的（静）电场的源 及有界区域边界上电场的边界条件，求解电场的问题 可以分为两步求解： 先求解电位?，再求电场强度E 求解电位?就是求解 满足给定边界（边值）条件下 的解。 电位的定解问题又称为电位的边值问题。 ◇ 静电场和恒定电场的边值问题，可归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程。 ◇ 常用的方法 直接法 间接法 解析法 数值法 有限差分法（FD） 有限元方法（FEM） 矩量法（MoM） 3.1 唯一性定理 3.2 镜象法 3.3 分离变量法 3.4 点电荷密度的 函数表示 3.5* 格林函数法 3.6* 有限差分法 4.2, 4.6 , 4.9, 4.13, 4.22 第三章 作 业 一、边值问题 存在边界面的电磁问题。 根据给定边界条件对边值问题分类： 第一类边值问题－狄里赫利(Dirichlet)问题： 已知电位函数整个边界面上的 分布值。 第二类边值问题－纽曼（ Neumann ）问题： 已知函数在整个边界面上的法向导数 。 3.1 唯一性定理 已知一部分边界面上的函数值，和另一部分边界面上函数的法向导数。 第三类边值问题（混合边值问题）： 唯一性定理内容：在场域V的边界面S上给定电位 或者 的值，则泊松方程或拉普拉斯方程在场域 V内的解唯一。 二、唯一性定理 说明：若对同一面积，同时给定 和 的值，则不 存在唯一解。 1、指出了静态场边值问题具有唯一解的条件； 2、为静态场边值问题求解方法提供了理论依据，为结果正确性提供了判据。 3、唯一性定理是间接法求解拉普拉斯方程（泊松方程）的理论依据。 唯一性定理的意义： 当直接求解场方程有困难而采用其它方法求解时，如果能够找到一个函数，使它满足边值条件，并可证明它也满足场方程的话，则根据唯一性定理可以确信它即是所要求的解。 格林第一定理 格林第二定理 令： 代入式高斯公式后求得 又有 代回前一式得 令式第一定理中的 交换位置，得 将上式与第一定理相减，求得 得证 设满足泊松方程的解有两个： ， 即有： 令： 则有： 利用格林第一定理： （1）在边界S上，对于第一类边值问题 （2）在边界S上，对于第二类边值问题 （3）对于第三类边值问题，在一部分边界上有 另一部分边界上有 所以 所以 所以 设尝试解： 镜像法基本思路：在所研究的场域外的某些适当位置，用一些虚拟电荷等效替代导体分界面上的感应电荷或媒质分界面上的极化电荷的影响。 镜像法理论依据：唯一性定理。 等效电荷一般位于原电荷关于边界面的镜像点处，故称为镜像电荷。 镜像电荷位置选择原则： 1、镜像电荷必须位于求解区域以外的空间。 2、镜像电荷的引入不能改变原问题的边界条件。 3.2 镜像法 1、点电荷对无限大接地平面导体边界的镜像 原问题： 无限大接地导体平面（z=0）,点电荷q：z = h 求：空间中电位分布。 一、平面接地导体边界 要求：与原问题边界条件相同 原电荷：q: z = h 镜像电荷(等效电荷):-q：z=-h 取消导体边界面，z 0空间媒质充满整个空间。 等效问题 由等效问题，可以求出在z0空间内的电位分布为： 讨论：无限大导体分解面上感应电荷总量 即：镜像电荷电量与感应电荷电量相等。 如图，两半无限大接地导体平面垂直相交。 要满足在导体平面上电位为零，则必须引入3个镜像电荷。如图所示。 2、点电荷对相交接地平面导体边界的镜像 ?=0 ?=0 对于非垂直相交的两导体平面构成的边界， 若夹角为 ，则所有镜像电荷数目为 2n-1个。 问题： 点电荷位于两种电介质分界面上方h，求空间电位分布。 分析： 在介质分界面上将存在极化电荷，空间电位由极化电荷和电荷q共同产生。 方法： 镜像法，即用镜像电荷等效极化电荷作用。 3、【例4.1.1】点电荷对电介质分解面的镜像 解决问题过程： 设媒质1中电位函数为 媒质2中电位函数为 1、建立 求解方程。镜像电荷 位于z0区域中，整个空间充满媒质1。 则媒质1内P点电位为： 2、建立 求解方程。镜像电荷 位于z0区域中，整个空间充满媒