第三章常微分方程的差分方法(17-18).pptVIP

第三章 常微分方程的差分方法 我们可以方便地估计出亚当姆斯预报校正系统的截断误差，从而依据这种估计将该系统 就可改进为如下精度更高的计算方案： 预报 改进 校正 改进 * 重庆大学数理学院 数 值 分 析 第九讲 主讲教师： 谭 宏 1．教学内容： 龙格-库塔方法：龙格-库塔方法的设计思想、二阶龙格-库塔方法、三阶龙格-库塔方法、四阶龙格-库塔方法、变步长的龙格-库塔方法；亚当姆斯方法：亚当姆斯格式、亚当姆斯预报-效正系统、误差分析。 2．重点难点： 龙格-库塔方法的设计思想；各阶龙格-库塔方法系数的确定。 3．教学目标： 理解龙格-库塔方法的设计思想，熟悉二阶龙格-库塔方法的推导，能利用龙格-库塔方法进行微分方程数值求解。了解亚当姆斯格式。 3、3 龙格-库塔方法 1、龙格-库塔方法的设计思想 分析Euler方法及其改进方法和梯形方法的几何解释，可知关键在于对平均斜率的估计。 根据微分中值定理，存在点 ， 使得 所以 即 （11） 我们称 为区间 上的平均斜率，这样只要对平均斜率 提供一种算法，相应地我们便导出一种计算格式。 Euler方法简单地取点 的斜率值 作为平均斜率。 改进的Euler方法可写成 改进的Euler公式可以这样理解，它用 与 两个点的斜率值 与 取算术平均作为平均斜率，而 处的斜率值 则通过已知信息 来预测。 这个处理过程启示我们，如果设法在 内多预测几个点的斜率值，然后将它们加权平均作为平均斜率，则有可能构造出具有更高精度的计算公式。这就是龙格-库塔方法的基本思想。 2、 二阶龙格-库塔方法(用两个点的斜率平均作为平均斜率) 取 点 处的斜率值 点 处的斜率值 先用欧拉方法预报 然后用 与 加权平均作为平均斜率 的近似值得： 于是我们就得到如下计算格式： （12） 其中有两个待定参数 ， 适当选取它们的值，就可使上述格式有较高的精度。 假定 分别将 和 进行泰勒展开 代 和 入（12）式得 把 在 点泰勒展开得 可知欲使上式有二阶精度，只要成立 该格式是二阶的 ，故统称满足这一条件的一族格式为二阶龙格－库塔格式。 特别地，当 时，上述格式即为改进的欧拉格式 （13） 如果取 ，则上述格式称为变形的欧拉格式，亦称为中点格式。 这里 是中点， 是欧拉方法预报的中点近似解 是中点斜率的近似值 （14） 3、三阶龙格-库塔方法(用三个点的斜率平均作为平均斜率) 为了进一步提高精度取 用三个点 ， ， 的斜率作加权平均近似代替平均斜率。 这时有计算格式 （15） 将 ， ， 展开，比较 与 ，可得上式中各待定系数所满足的关系， 式中有待定系数 于是就可以构造所谓的三阶龙格－库塔格式 令：p=1/2,q=1 代入上式，解出其余的待定系数得 就是三阶龙格－库塔格式的一种 4、四阶龙格-库塔公式(用四个点的斜率平均作为平均斜率) （16） 值得注意的是，龙格－库塔法的推导基于泰勒展开法，因而它要求解具有较好的光滑性。如果解的光滑性差，则该方法得到的解反而不好。 例：运用四阶经典龙格-库塔方法计算 的解在x=0.4处的近似值。取步长h=0.2。 解：四阶经典龙格-库塔公式 由于取步长h=0.2，所以： 先计算 ,得： ，得： 得： ， 得： 所以： 再计算 , 得： 得： 得： 得： 得： 所以： 同积分的数值计算一样，微分方程的数值解法也需要选择步长。同样，我们可以采取步长加倍或折半的办法选择步长，即通过检查步长折半前后的两种计算结果的偏差： 来判断选取的步长是否合适，具体可以分为两种情况来处理。 对于给定精度 ，若 ， 则反复将步长折半进行计算直到 为止，取步长折半后的“新值”作为结果； 相反的，若