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第三节 函数的几种基本特性
练习： END * 第三节 函数的几种基本特性 一、有界性 M -M b a 则称函数 有界。 b a 函数的有界性还可以细分为： 则称函数 f(x) 在I上下有界 . M2 M1 M1称为 f(x) 在I上的下界。 M2称为 f(x) 在I上的上界。 定理：函数 f(x) 有界当且仅当 f(x) 上有界且下有界。 则称函数 f(x) 在I上上有界 . 因为存在 M=1，使对任意x?(-?,+?)，有|sin x|?1，所以 y = sinx是(-?,+?)内的有界函数。 y = sinx 有界吗? 二、单调性 例如, 函数 y = x 3 在(-?, +?)内单调增加。 而函数 y = x 2 在区间(-?, 0)内单调减少；在区间(0, +?)内单调增加。 三、奇偶性 例1 判断下列函数的奇偶性： 偶函数 非奇非偶 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 例2 是偶函数；而 是奇函数。 证明是容易的。 由此可证：定义域关于原点对称的函数必可表示为一个偶函数和一个奇函数之和： 偶函数的图形关于 y 轴对称。 y x o x -x 具有奇偶性的函数的图形有某种对称性： y x o x -x 奇函数的图形关于原点对称。 例3 解 故 f(x) 是偶函数. 2 -1 1 四、周期性 (通常周期函数的周期是指其最小正周期). 注意：并非任意周期函数都有最小正周期. 如狄利克雷函数 任何正有理数都是它的周期, 但并不存在最小的正有理数。 P28 习题 一 * * *
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