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第三节相似矩阵与方阵的对角化
一、相似矩阵与相似变换的概念 相似矩阵与相似变换的性质 二、利用相似变换将方阵对角化 三、小结 * * 1. 等价关系 证明 推论 若n阶方阵A与对角阵 定理4.5 若n阶方阵A与B相似，则A与B的秩相同， 即 说明 推论 如果 阶矩阵 的 个特征值互不相等， 则 与对角阵相似． 如果 的特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能 对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 还是能对角化． 例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 解 解之得基础解系 求得基础解系 解之得基础解系 故 不能化为对角矩阵. A能否对角化？若能对角 例2 解 解之得基础解系 所以 可对角化. 注意 即矩阵 的列向量和对角矩阵中特征值的位置 要相互对应． 定理4.7 实对称矩阵的特征值为实数. 说明：本节所提到的对称矩阵，除非特别说 明，均指实对称矩阵． 一个n阶方阵具备什么条件才能对角化,这是一个较复杂的 问题,我们不作一般性讨论,仅讨论A为实对称阵的情形。 三、实对称矩阵的相似对角化 定理4.7的意义 推论1 n阶实对称矩阵必有n个线性无关的特征向量. 推论2 实对称矩阵一定与对角阵相似. 证明 它们的重数依次为 根据定理4.7（对称矩阵的特征值为实数） 和定理4.9( 如上)可得： 设 的互不相等的特征值为 由定理4.8知对应于不同特征值的特征向量正交， 这样的特征向量共可得 个. 故这 个单位特征向量两两正交. 以它们为列向量构成正交矩阵 ，则 根据上述结论，利用正交矩阵将对称矩阵化 为对角矩阵，其具体步骤为： 将特征向量正交化; 3. 将特征向量单位化. 4. 2. 1. 解 例 对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵 ， 使 为对角阵. (1)第一步 求 的特征值 解之得基础解系 解之得基础解系 解之得基础解系 第三步 将特征向量正交化 第四步 将特征向量单位化
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