第三讲：导数的计算(26题).pptVIP

例24 设 求 解 由于 (7) 微分的计算 1）微分公式 设 u , v 可微 , c 为常数 , 则有 2) 一阶微分形式的不变性 不论 u 是自变量还是中间变量 , 都有 例25 设 , f 可微 , 求 dy 解 例26 设 y=y(x) 由 所确定 , 求 dy . 解 在等式两边取全微分得 解得 第三讲 导数的计算 1°导数的计算方法 (1) 利用导数的定义 (3) 利用导数的四则运算法则 (4) 利用复合函数求导法则 (2) 利用 存在 (5) 利用反函数求导法则 (6) 对数求导法 (7) 隐函数求导法 (8) 参数方程求导法 2°典型问题 (1) 复合函数求导问题 例1 设 , 计算 解 例2 设 , 计算 解 例3 设 , 计算 解 例4 设 , 计算 解 f (u) 可导 , f (3) = 2 , , 则 若 , 其中 例5 [练习五/二(1)] 解 令 x = 1 得 (2) 隐函数求导问题 例6 [练习六/三] 求曲线 在 ( 2 , 2 ) 点处的 切线方程 解 两边对 x 求导 令 x = 2 , y = 2 得 切线方程 : 例7 设函数 y =y(x) 由方程 确定 , 其中 f 具有一阶导数 , 且 , 求 解 两边对 x 求导 , 有 两边取对数 , 有 解得 (3) 参数方程求导问题 例8 [练习六/五] 求曲线 在对应于 t = 0 处的切线方程 解 t = 0 所对应曲线上的点 A(0 , ?1) 曲线在 A(0 , ?1)点处的切线斜率: 现 在方程 两边对 t 求导有 令 t = 0 , y = ?1 得 切线方程 : 例9 证明曲线 上任意点处的切线在 两坐标轴之间的线段为定长 解 曲线可表示为 L : 在 L上任取一点 曲线在 M 点处的切线斜率: 切线方程 : 切线在 x 轴上的交点: 切线在 y 轴上的交点: 而 为定长 (4) 可导性问题 例10 [练习五/一(1)] 设 g(x)在 x = 0处连续, f (x) 在 x = 0 点可导的充要条件是 _______ 解 要使 f (x) 在 x = 0 处可导 , 即使 存在 由于 要使 存在 设 f (x) 可导 , 则 f (0) = 0 是 F(x) 在 x = 0 处可导的 ( ) (A) 充分必要条件 (B)充分条件但非必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件 (C) 必要条件但非充分条件 例11 [练习五/一(4)] 解 例12 [练习二/四] 设对任意 x 均有 f (1+x) = a f (x) , 且 ( a , b非零 ) , 证明: f (x) 在 x =1 处可导 , 并 求 解 又对任意 x 有 , 在 x = 0 有 例13 [练习三/十六] 设 f (x) 在 内有 求 解 由 , 又由 x ≠ 0 , , 根据夹逼定理知 例14 设对非零 x , y 有 f (xy) = f (x) +f (y) 且 证明 : 当 x ≠ 0 时, 解 当 x = y = 1 时 , 对任意的 x ≠ 0 , 例15 设 f (x) , g(x) 在 (-? , +? )