第二章2.2.2,2.2.3牛顿插值法.pptVIP

华长生制作 一般地，采用部分节点进行插值近似，当需要计算开头节点附近的函数值时采用牛顿向前差值公式，当需要计算末尾节点附近处的函数值时采用牛顿向后插值公式。 来看下面两个例子。 * 2.2.2 Newton插值法 2.2.3 等距节点插值公式 我们知道,Lagrange插值多项式的插值基函数为 形式上太复杂,计算量很大,并且重复计算也很多 由线性代数的知识可知,任何一个n次多项式都可以表示成 共n+1个多项式的线性组合 那么，是否可以将这n+1个多项式作为插值基函数呢？ 显然，多项式组 线性无关， 因此，可以作为插值基函数 有 再继续下去待定系数的形式将更复杂 为此引入差商和差分的概念 一、差商(均差) 定义1. 称 依此类推 差商具有如下性质(请同学们自证)： 显然 (2) 差商具有对称性,即任意调换节点的次序,差商的值不变 如 用余项的 相同证明 差商的计算方法(表格法): 规定函数值为零阶差商 差商表 Chashang.m 216 6 125 5 27 3 8 2 0 0 f[xi,xi+1,xi+2 ,xi+2] f[xi,xi+1,xi+2] f[xi,xi+1] f[xi] xi 例1 求 f(xi)= x3在节点 x=0, 2, 3, 5, 6上的各阶差商值 解: 计算得如下表 二、Newton基本插值公式 设插值多项式 满足插值条件 则待定系数为 称 定义3. 由插值多项式的唯一性,Newton基本插值公式的余项为 为k次多项式 因此可得 下面推导余项的另外一种形式 因此 一般 Newton插值 估计误差的 重要公式 另外 3 3 0 1 -1 -1/3 -2 -3/2 -1/6 1/24 1 4 7 8 6 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 一阶差商 二阶差商 三阶差商 四阶差商 f(xk) xk k 2.2.3 等距节点插值公式 定义. 依此类推 可以证明 如 差分表 在等距节点的前提下,差商与差分有如下关系 依此类推 由差商与向前差分的关系 Newton插值基本公式为 如果假设 1.Newton向前(差分)插值公式 则插值公式 化为 其余项 化为 称 为Newton向前插值公式（又称为表初公式） 插值余项为 插值余项为 根据向前差分和向后差分的关系 如果假设 可得Newton向后插值公式 2.Newton向后(差分)插值公式 * * * * *