第二讲 函数连续.pptVIP

间断点分类: 例如: 内容小结 思考与练习 3、确定函数 间断点的类型. * * 第二讲　函数的连续性 一、连续函数的概念 二、连续函数的基本性质 三、闭区间上连续函数的性质 四、函数间断点及其分类 设函数y=f(x)在点x0的某一个邻域内有定义? 当自变量x在该邻域内从x0变到x0+Dx时? 对应的函数 y 的增量为 Dy= f(x0+Dx)- f(x0)? 函数的增量 y=f(x) f(x0) x0+Dx x0 f(x0+Dx) Dx Dy 一、连续函数的概念 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义? 如果 函数连续的定义 那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续? 等价关系: 设x=x0+Dx? 则当Dx?0时? x?x0? 因此 下页 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义? 如果 函数连续的定义 那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续? 下页 设函数 y=f(x) 在点x0的某一个邻域内有定义? 如果 函数连续的定义 那么就称函数 y=f(x) 在点x0处连续? 左右连续性 左右连续与连续的关系 函数y=f(x)在点x0处连续?函数y=f(x)在点x0处左连续且右连续? 下页 函数在区间上的连续性 在区间上每一点都连续的函数? 叫做在该区间上的连续函数? 或者说函数在该区间上连续? 如果区间包括端点? 那么函数在右端点连续是指左连续? 在左端点连续是指右连续? 例 2 解　因为 所以 f (x) 在 x = 0 处连续. 例 3 证　因为 且 f (0) = 1，即 f (x) 在 x = 0 处左，右连续，所以它在 x = 0 处连续 . ≤ 二、连续函数的基本性质 　　定理 1　若函数 f (x) 和 g (x) 均在 x0 处连续， 则 f (x) + g (x) ， f (x) - g (x)， f (x) · g (x) 在该点亦均连续， 又若 g(x0) ? 0， 则 在 x0 处也连续. 　　定理 3　若函数 y = f (x) 在某区间上单值、单调且连续， 即它们同为递增或同为递减. 则它的反函数 x = f -1 ( y ) 在对应的区间上也单值、单调且连续，且它们的单调性相同， 　　定理 4　初等函数在其定义区间内是连续的. 　　定理 2 设函数 y = f (u) 在 u0 处连续，函数 u = ? (x) 在 x0 处连续，且 u0 = ? (x0) ，则复合函数 f [? (x)] 在 x0 处连续 . 例 5 应当先将该函数的分子有理化， 消去为零的因子 x， 再计算极限， 即 一般地， 解 这是一个 型的极限问题. 例 7 解 三、闭区间上连续函数的性质 　　定理 5　若函数 y = f (x) 在闭区间[a, b]上连续, (2) 在 [a, b] 上至少存在一点 x2， 　　(1) 在 [a, b] 上至少存在一点 x1， 　　　　　　　　　　　　　　　　 使得对于任何 x ? [a, b]，恒有 f (x1) ≥ f (x). 　　　　　　　　　　　　　　　　使得对于任何 x ? [a, b]，恒有 f (x2) ≤ f (x).　　 x1 x2 y = f (x) b a y x O 则 若函数在开区间内连续， 　　 f (x1)， f (x2) 分别称为函数 y = f (x) 在区间 [a, b] 上的最大值和最小值，定理 5 又称最大值和最小值存在定理 . 如函数 y = x2 在区间 (0, 1) 内就无最大值和最小值 . 则它在该区间内未必能取得最大值和最小值， 则它在 [a,b]内取得介于其最小值和最大值之间的任何数. 定理 6 　若 f (x) 在 [a, b] 上连续， 　　推论　若 f (x) 在 [a, b] 上连续，且 f (a) · f (b) 0， 　　推论　若函数 y = f (x) 在闭区间上连续，则它在该区间上有界 . a