第二讲线代数的运算.ppt (恢复).pptVIP

* 第二节 线性代数运算 一. 矩阵的特征值与特征向量 定义：设A为n阶矩阵， 是一个数，若存在n阶非零向量 ，使得 则称 是A的一个特征值， 称为矩阵A对应于特征值 的特征向量. 注意:一个特征值可以有无穷多个特征向量，但一个特征向量只对应唯一的一个特征值，即特征值是由特征向量唯一确定的. 在后续的课程中，我们将介绍特征值与特征向量在经济分析中的作用. 例1.计算矩阵 的特征值 解：设 为A的特征值，是对应于 的特征向量 此线性齐次方程组有非零解的充要条件是系数行列式的值为零，由 在MATLAB中计算矩阵X的特征值与特征向量的方法如下： [V,D] = EIG(X) produces a diagonal matrix D of eigenvalues and a full matrix V whose columns are the corresponding eigenvectors so that X*V = V*D. D是由矩阵X的特征值组成的对角矩阵，V的每一列是对应于特征值的特征向量. 例2 求矩阵 的特征值与特征向量 解：A=[4,6,0;-3,-5,0;-3,-6,1];[V,D]=eig(A) V =0 0.5774 -0.8944 0 -0.5774 0.4472 1 -0.5774 0 D =1 0 0 0 -2 0 0 0 1 即 对应的两个特征向量为： 而 对应的一个特征向量为： 对应的全部特征向量为： 而 对应的全部特征向量为： 例3.求矩阵B，BB’ 的特征值、特征向量 解：B=[3,0,0;0,2,0;1,1,1], [D1,V1]=eig(B), [D,V]=eig(B*B’), D= -0.2953 -0.3048 -0.9054 -0.4954 0.8592 -0.1277 0.8169 0.4109 -0.4048 V= 0.7024 0 0 0 4.9564 0 0 0 10.3412 例4. 将矩阵A的行向量与列向量标准化 解：A=[1,2,3;4,5,6;7,8,0];B=normr(A)，C=normc(A) B =0.2673 0.5345 0.8018 0.4558 0.5698 0.6838 0.6585 0.7526 0 C =0.1231 0.2074 0.4472 0.4924 0.5185 0.8944 0.8616 0.8296 0 二.向量的标准化与矩阵的范数 1.Matlab中将矩阵的行向量、列向量单位化的命令： normr(A)，normc(A) 2. 矩阵的范数有以下几种： (1) n = norm(A) 矩阵A的普范数(2范数), = A’A的最大特征值的算术根 . (2) n = norm(A,1) 矩阵A的列范数（1-范数） 等 于A的最大列之和. (3)n = norm(A,inf) 矩阵A的行范数(无穷大范数) 等于A的最大行之和. (4)n = norm(A, fro ) 矩阵A的Frobenius范数. 记为： 3. 方阵的谱半径： 方阵A的特征值的绝对值之最大值称为A的谱半径 记为： 上述范数之间的关系： 例5.求矩阵 的谱半径 由例2知矩阵A的特征值分别为1，-2。 例6. 计算矩阵A的各种范数 n1=norm(A,1), n2=norm(A), n3=norm(A,inf)，n4=norm(A, fro) 解：A=[1,2,3,4;2,3,4,1;