第五讲数学常微分.pptVIP

本节内容提要 一、引言 二、齐线性方程的解的性质与结构 例题 1 三、非齐线性方程与常数变易法 例题 2 例1： 求方程 的通解，已知它的对应齐线性方程的基本解组为 。 解 ： 应用常数变易法，令 将它代入方程，则可得决定 和 的两个 方程 例题 3 求方程 于域 上的所有解。 解： 对应的齐线性方程为 容易直接积分求得它的基本解组。事实上，将方 程改写成 积分即得 。所以 ，这里 为任意常数。易见有基本解组 。为应用上 面的结论，我们将方程改写为 * 第五讲 高阶微分方程（1） 高等教育电子音像出版社 宁波大学 陶祥兴等 编 一、引言 二、齐线性方程的解的性质与结构 三、非齐线性方程与常数变易法 在前面已经讨论过一阶微分方程，这一讲里我们讨论二阶及二阶以上的微分方程，即高阶微分方程。 我们讨论如下的 阶线性微分方程 其中 及 都是区间 上的连续函数。 如果 ，则方程（1）变为 我们称它为 阶齐线性微分方程，简称齐线性方程，而称一般的方程(1)为 阶非齐线性微分方程，简称非齐线性方程，并且通常把方程(2)叫做对应于方程(1)的齐线性方程。 同一阶方程一样，高阶方程也存在着是否有解和解是否唯一的问题。 因此，作为讨论的基础，我们首先给出方程(1)的解的存在唯一性定理。 我们将在下一章讲述线性方程组的有关定理时顺便给出这一定理的证明。从这个定理可以看出，初始条件唯一地确定了方程(1)的解，而且这个解在所有 及 连续的整个区间 上有定义。 定理1：如果 及 是区间 上的连续函数，则对于任一 及任意的 方程(1)存在唯一解 定义于区 上，且满足初始条件： 间 首先讨论齐线性方程 根据“常数可以从微分号下提出来”以及“和的导数等于导数之和”的法则，容易得到齐线性方程的解的叠加原理。 它含有 个任意常数。我们要问，在什么条件下，表达式（4）能够成为 阶齐线性方程（2）的通解？它又将具有什么特性呢？ 定理2：（叠加原理）如果 是方程(2)的 个解，则它们的线性组合 也是方程（2）的解， 这里 是任意常数。 特别地，当 时，即方程（2）有解: 为了讨论的需要,我们引进函数线性相关与线性无关及伏朗斯基(Wronsky)行列式等概念。 考虑定义在区间 上的函数 ，如果存在不全为零的常数 ，使得恒等式 对于所有 都成立 ，我们称这些函数是线性相关的，否则就称这些函数在所给的区间上线性无关。 又如函数 在任何区间上都是线性无关的。因为恒等式 仅当所有 时才成立。如果至少有一个 ，则左端是一个不高于 次的多项式，它最多可有 个不同的根。因此，它在所考虑的区间上不能有多于 个零点，更不可能恒为零了。 例如函数 和 在任何区间上都是 线性无关的，但是 和 在任何区 间上都是线性相关的。 称为这些函数的伏朗斯基行列式。 由定义在区间 上的 个可微 次的函数 所作成的行列式 证明： 由假设，即知存在一组不全为零的常数 ，使得 依次对 微分此恒等式，得到 定理3：若函数 在区间 上线性相关，则在 上它们的伏朗斯基行列式 。 把(6)式和(7)式看成关于 的齐线性代数方程组，它的系数行列式就是 于是由线性代数理论知道，要此方程组存在非零解，则它的系数行列式必须为零，即 。定理证毕。 我们指出，逆定理一般不成立。事实上，容易给出这样的函数组，由其构成的伏朗斯基行列式恒为零，然而它们却是线性无关的。 和 在区间 上，显然 ，但它们在此区间上却是线性无关的。因为，假设存在恒等式 则当 时，推得 ；而当 时又推得 。即除 外,找不到别的常数 和 (不全为0)使恒等式(8)对一切 成立，故