第八章 函数微分法及其应用.pptVIP

第八章 多元函数微分学 一 多元函数与极限 二 多元函数的偏导数 三 多元函数的全微分及其应用 四 多元复合函数的微分法 五 * 多元函数的极值 可微的条件 称为 z = f (x, y)的二阶偏导数. 类似, 可得三阶, 四阶, …, n 阶偏导数. 例1. 解: 　　　　　　　　　　　　一般说来, 算这个改变量较麻烦, 希望找计算它的近似公式. 该近似公式应满足(1)好算. (2)有起码的精度. 　　在实际中,常需计算当两个自变量都改变时, 二元函数 z = f (x, y)的改变量 f (x0+?x, y0 +?y) – f (x0, y0).　 一、全微分的概念 　第三节 多元函数的全微分 类似一元函数的微分概念, 引进记号和定义. 记 ?z = f (x0+?x, y0 +?y) – f (x0, y0). 称为 z = f (x, y)在点 (x0, y0) 的全增量. 全微分的定义 定 义 对照一元函数的微分, z = f (x , y), 若?z = A?x +0(?x) 则dz = A?x = f (x) ·?x . 自然会提出以下问题. 　　(1)若z = f (x, y)在点(x0, y0)可微, 微分式 dz = A?x +B?y中系数 A, B 如何求, 是否与z的偏导有关? 　　(2)在一元函数中, 可微与可导是等价的. 在二元函数中, 可微与存在两个偏导是否也等价? 　　(3)在一元函数中, 可微?连续, 对二元函数是否也对? 事实上 　　结论: 对二元函数 z = f (x, y), z 在(x0, y0)可微(不是存在两个偏导) ? z 在(x0, y0)连续. 证略。 * * 1.实例分析 一、多元函数 一、多元函数的概念 定义1 ：设在某一过程中有三个变量 x , y 和 z，如果对于 变量 x , y 在其变化范围 D 内的每一对值 ( x , y )， 按照法则 f 有唯一确定的值 z ∈R 与之对应， 那么这种法则就规定了一个函数： 其中 x ，y 称为自变量，z 称为因变量， D为定义域。 D中任一对数 ( x , y )在法则 f 下的对应值 z ，称为 f 在 点( x , y )的函数值，记作 z = f ( x , y ) 。 多元函数的概念 函数 f 的函数值的全体 称为函数 f 的值域。 函数的两个要素:定义域，对应法则 二元函数的图形通常是一张曲面. 例如, 图形如右图. 例如, 右图球面. 单值分支: 一、多元函数极限 注意： 是指 P 以任何方式趋于P0 . 一元中 多元中 确定极限不存在的方法： 二、多元函数连续 定义3：设函数 z = f ( x , y )在点 及其附近有定义 如果 ，就称函数 f ( x , y )在点 连续。如果 f ( x , y )在区域 D 的 每一点都连续，就称 f ( x , y ) 在区域 D 连续。 满足以下条件： 多元初等函数： 由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四 则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表 示的多元函数叫多元初等函数。 一切多元初等函数在其定义域内是连续的． 在定义域内的连续点求极限可用“代入法”： 例７ 解 一、 偏导数 第二节 多元函数的偏导数 在二元函数 z = f (x, y)中, 有两个自变量 x, y, 但若固定其中一个自变量, 比如, 令y = y0, 而让 x 变化. 则 z 成为一元函数 z = f (x, y0), 我们可用讨论一元 函数的方法来讨论它的导数, 称为偏导数. 一、偏导数的定义 则称这个极限值为 z = f (x, y) 在 (x0, y0) 处对 x 的偏导数. 即 此时也称 f (x, y)在(x0, y0) 处对x 的偏导数存在. 否则称f (x, y)在(x0, y0) 处对x的偏导数不存在. 　　类似, 若固定 x = x0, 而让 y 变, z = f (x0, y)成为 y 的一元函数. 则称它为z = f (x, y) 在 (x0, y