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一物体按规律x=bt3做直线运动,式中x为时间t内通过的距离,媒质的阻力与速度的平方成正比,试求物体由x=0运动到x=a时,阻力做的功. 【错因分析】 本题的错误在于没有理解定积分的几何意义,当对应的曲边梯形位于x轴下方时,定积分的值取负值,其面积应是该定积分的相反数. 利用定积分求图象所围成的阴影部分的面积时,要注意利用数形结合的方法确定出被积函数和积分的上限与下限. 2.求曲边多边形的面积 其步骤为: (1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象. (2)借助图形确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上限、下限. (3)将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和. (4)计算定积分. RJ·A版·数学 新课标高考总复习(理) 考纲要求 考情分析 1.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. 2.了解微积分基本定理的含义. 从近两年的高考试题来看,本节内容要求较低,定积分的简单计算与应用是高考的热点,题型均为小题,难度中低档,主要考查定积分的概念及定积分基本定理的简单应用,如2011年课标卷、江西卷. (对应学生用书P53) 知识梳理 1.定积分的定义 (1)一般地,如果函数y=f(x)在某个区间I上的图象是一条连续不断的曲线,那么我们就把它称为区间I上的连续函数. (2)求曲边梯形面积的步骤: ①分割;②近似代替;③求和;④取极限. 问题探究:一个函数的导数是惟一的,反过来导函数的原函数惟一吗? 提示:一个函数的导数是惟一的,而其原函数则有无穷多个,这些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于计算. 解析:将曲线y=x2与y=x联立方程组,得x=0或x=1.结合图象可知,选项B成立. 答案:B (对应学生用书P53) 考点1 定积分的计算 利用微积分基本定理求定积分,其关键是求出被积函数的原函数,求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运算,因此应注意掌握一些常见函数的导数. 考点2 求曲多边形的面积 求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤 (1)画出图形; (2)确定图形的范围,通过解方程组求出交点的横坐标,定出积分的上、下限; (3)确定被积函数,特别要注意分清被积函数的上、下位置; (4)写出平面图形面积的定积分的表达式; (5)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积. 计算曲线y=x2-2x+3与直线y=x+3所围图形的面积. 考点3 定积分在物理中的应用 例3 一辆汽车的速度——时间曲线如图所示,求此汽车在这1min内所行驶的路程. 【分析】 由题意知,在t∈[0,10)和t∈[40,60)物体作匀变速直线运动,t∈[10,40)作匀速运动,∴v(t)应为分段函数,应分三段求积分. RJ·A版·数学 新课标高考总复习(理)
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