第十一章 多元函数微分学 6.pptVIP

11.6 泰勒公式 11.6.1 高阶偏导数 注意: 一般地 例1. 解: 例2. 证明: 例3. 解: 例4. 解: 而 故 同理 (1)+(2)得: 例5. 解: 而 = 11.6.2 泰勒公式 当一元函数 y=f(x)在 x0处有 n 阶导数时, 则在点 x0的某邻域内: 定理 11. 为此邻域内 的任一点, 则有: 其中记号 称为拉格朗日型余项 一阶泰勒公式为: 是一元函数拉格朗日中值定理的推广. 在带拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式中可以证明: |Rn|?o( ?n ) 故n 阶泰勒公式也可以写成: 例1. 解: 11.7 多元函数的极值与最值 定义 设函数 z=f(x,y) 在点(x0,y0)的某邻域内有定义, 如果对该邻域内的每一点(x,y), 都有: f(x, y) f(x0 ,y0), (或 f(x, y)f(x0 ,y0)), 则 f(x, y)在点(x0 ,y0)处取到极大(小)值 f(x0 ,y0), 而称点 (x0 ,y0)为f(x, y)的一个极大(小)值点。 定理12. (极值存在的必要条件)  设函数 z=f(x, y) 在点(x0, y0)具有偏导数,  且在该点处取到严格(或非严格)的极值, 则必有: 证明: 因为z=f(x, y) 在点(x0 ,y0)处有极值, 当 y保持不变恒取 y0时, 一元函数z=f(x, y0)在点 x0处也应有极值, 故应有: 故有结论: 具有偏导数的多元函数的极值点必是驻点. 反之, 多元函数的驻点不一定是极值点. 定理13. (极值存在的充分条件) 设点(x0, y0) 是函数  z=f(x, y) 的一个驻点, f(x, y)在点(x0, y0)某邻域内 有连续的二阶偏导数, 则 (1) 当 H(x0, y0)0时, 点(x0, y0)为极值点, 此时, 若 fxx(x0, y0)0, f(x0, y0)为极小值, 若 fxx(x0, y0)0, f(x0, y0)为极大值; (2)当 H(x0, y0)0时, f(x0, y0)不是极值; (3)当 H(x0, y0)=0时, f(x0, y0)可能是极值, 也可能不是极值; 求 函数 z=f(x,y) 的极值的一般步骤: (3)对每一驻点(x0, y0), 求出 H(x0, y0), 然后根据定理13 判别驻点 (x0, y0)是否是极值点. 例1. 求函数 f(x,y)=x3?y3+3x2+3y2 ?9x 的极值. 在点(1,0)处, 在点(1,2)处, 在点(??3,0)处, 与一元函数的情况一样, 偏导数不存在的点也可能是极值点. f(x,y)的驻点和偏导数不存在的点统称为f(x,y)的临界点. 从而有结论: 函数f(x,y)的极值点必在临界点处取到. 11.7.2 多元函数的最大值与最小值 如果 f(x,y)在有界闭区域 D上连续, 则 f(x,y)在D上 存在最大值与最小值, 并且最值必在f(x,y)的临界点上 或边界点上取到. 例2. 求函数 f(x,y)=(x2+y2?2x)2 在圆域 x2+y2?2x 上的 最大值与最小值. 解: 例3. 求函数 f(x, y)=x2y+xy2?3xy 在有界闭区域. 解: (1) 先求出f(x,y)在D上的临界点, (2) 求出边界上可能的最值点: f(x, y)=x2y+xy2?3xy , 记 g(x)=x(4?x), 则 g?(x)=4?2x, 令g?(x)=0, 得: x=2, y(2)=2 得 点: P5 (2, 2), 例4. 用铁板做成一个体积为常数V 的有盖长方体水箱,问水箱的长,宽, 高各为多少时用料最省. 解: 设水箱的长, 宽, 高各为: x, y, z, 则用料的面积: S=2(xy+xz+yz), 且 xyz=V , 解得唯一的驻点: 即当长宽高均取 例5. 将一宽为 24cm的长方形铁皮的两边折起, 做成一个断面为等腰梯形的水槽, 问应怎样做能使水槽的断面面积达到最大. 解: 代入 根据题义本题的最大值必存在, 且不可能在边界上取到,只能在极值点上取到, 11.7. 3 条件极值与拉格朗日乘数法 如果点(x0, y0, z0)是 u=f(x, y, z)在约束条件: ?(x, y, z)=0 下的极值点, 那么点(x0, y0, z0)应满足什么条件? 假设在点(x0, y0, z