第十二章第7、8节常系数微分方程.pptVIP

例题. 设 ?为实数, 求方程 y + ? y = 0的通解. 解: 特征方程为 ?2 + ? = 0 (i) ? 0时, 原方程通解为 (ii) ? 0时, 通解为 (ii) ? = 0时, 上述方法可推广到解 n 阶常系数齐次线性方程(8)的情形, 此时特征方程为 (11) 特征方程(11)的根对应微分方程(8)的解的情况如下表 通解为 特征根 对应的线性无关的特解 (1) 单实根 r r1,2=???i (2) k重实根 r …, (3)一对单复根 r=???i (4)一对k重复根 (? ?0) (? ?0) …, …, 表12-1 例10. 求解方程 y(4) ? 2y + 5y = 0. 解：特征方程为 r4?2r3+5r2=0. 对应线性无关的特解为y1=1, y2=x, y3=excos2x, y4= exsin2x, 故所求通解为 其根为r1= r2=0, r3,4=1?2i. 解：特征方程 对应线性无关的特解为y1=e?2x, y2= e?x, y3=xe?x, y4= x2 e?x, 故所求通解为 例11. 求解方程 其根为r1= ?2, r2= r3=r4= ?1. 例. 求解方程 y(4) + y = 0 解: 特征方程为 r4 + 1 = 0 即 r0, r3 共轭, 对应 r1, r2 共轭, 对应 故原方程通解为 §12-9、常系数非齐次线性微分方程 类型 I (13) 设方程(13)特解具有形式 则 代入(13) 并消去 e?x , (i) 当? 不是特征根, 即?2 + p1? + p2 ? 0 , Q(x) 为 m 次多项式 (ii) 当? 是单实根, 即?2 + p1? + p2 = 0 , 但2? + p2 ? 0. Q(x)是 m+1次多项式, 取常数项为零. Q(x) = x Qm(x) (iii) ? 是重根, 即?2 + p1? + p2 = 0 , 2? + p2 = 0. Q(x)是 m +2次多项式, 取常数项和一次项系数为零, Q(x) = x2 Qm(x) 总之, k 取0, 1 或 2 视?不是特征根, 是一重根或是二重根而定, Qm(x)与 Pm(x)次数相同, 为待定多项式. §12-7 高阶线性微分方程 设 y1= y1(x), y2= y2(x),?, yn= yn(x)是一组定义在区间I上的函数，如果存在n个不全为零的常数k1 , k2 , ?, kn , 使得?x?I, 恒成立 k1 y1 + y2 + ? + kn yn = 0 则称y1 , y2 , ?, yn ,是线性相关的. 否则称它们是线线性无关的. 线性无(相)关定义: 例1. sin2x, cos2x, 1 在R上线性相关. 因 sin2x + cos2x – 1 = 0 例2. 1, x, x2, ?, xn-1, 在R上线性无关. 证: 若?k0 , k1, ?, kn-1, 使 k0 + k1x +? + kn-1 x n–1 = 0 在R上成立, 必有k0 = k1 = ? = kn-1 = 0. 两个非零函数 y1, y2在区间 I上线性无关 如果 y1, y2是齐次方程(2)的两个解, 则 (i) y = y1+ y2 也是(2)的解. (ii) y = ky1也是(2)的解. 证: (i) 因 Ln(y1) = 0, Ln(y2) = 0, 所以, Ln(y) = Ln(y1) + Ln(y2) = 0. 即 y 是 (2) 的解. 同理可证(ii). 定理1(叠加原理) 若 y1, y2是二阶方程(2)的两个线性无关的解, 则方程(2)的通解为 ?y = C1 y1 + C2 y2 其中C1, C2为任意常数. 同理, 若 Ln(y) = 0有n个线性无关的解y1 , y2 , ?, yn, 则通解为 ?y = C1 y1 + C2 y2 + ? + Cn yn 定理 2 例3. 给定方程 y– y = 0 y1 = ex, y2 = e–x是该方程的两个解, 线性无关. 故其通解为 y = C1ex +C2 e–x, C1 , C2 为任意常数. 定理 4 设 y*是方程(1)的解, ?y 是(2)的解, 则 也是(1)的解. y* +?y 证: L (y*+?y ) = L (y*) + L (?y ) = L (y*) = f (x) 定理 4 设 y*是方程(1)的一个特解, ?y 是对应齐次方程(2)的通解, 是方程(1)的通解. y = y*+?y 则 定理 5 L (y) = f1 (x) 和L (y) = f2 (x) 的解, L (y) = f1