自动控制理论(邹伯敏第三版)第04章讲述.ppt

第四章 根轨迹法 第四章 根轨迹法 第一节 根轨迹法的基本概念 第二节 根轨迹的基本规则 第三节 参量根轨迹的绘制 第四节 非最小相位系统的根轨迹 第五节 增加开环零、极点对根轨迹的影响 第六节 用根轨迹法分析控制系统 滞后系统的根轨迹 图4-25 滞后系统的框图 特征方程为 图4-24 自动控制理论 自动控制理论 当按某一参变量作出系统的根轨迹图后，如果系统的性能不能满足设计要求时， 一般可增加开环零点的方法实现。 增加开环零点 设系统的开环传递函数 (4-50) 当K由 变化时，系统的根轨迹如图4-29所示。 图4-29 根轨迹图 若增加一个开环零点-b，则开环传递函数变为 (4-51) 自动控制理论 （1）假设零点-b位于 的实轴段上，若令b=5，即 (4-52) 根据式（4-52）作出的根轨迹图如图4-30所示。由劳斯判据求得该系统稳定的临界增益k0=12，此值与未加零点前的值一样大小。当k012，根轨迹中有 两条分支进入s的右半平面，这表明附加零点对系统根轨迹的影响甚小，即系 统的动态性能不会因此而有明显的改善，其原因是该零点距离虚轴较远。 （2）假设零点-b位于 间的实轴段上，若令b=1.2，即 (4-53) 据此作出系统的根轨迹如图4-31所示。 由图可见，当K在 范围内变化时， 该系统总是稳定的。 图4-30 系统的根轨迹图 自动控制理论 （3）假设零点-b位于 间的实轴段上，若令b=0.4，即 (4-54) 图4-31 根轨迹图 图4-32 根轨迹图 据此，作出系统的根轨迹图如图4-32所示。 由图可知： 1）当K由 变化时，系统的根轨迹都位于s平面 的左方，因而该系统总是稳定的。 2）当kk1，3个团环极点中同样有一对共轭复数 极点s1、s2和一个实数极点s3，但由于极点s3距 虚轴很近，因而相应的瞬态分量衰减得很缓慢， 从而导致系统的输出响应有较长的过渡过程时间， 这是一般的控制系统所不希望的。 由上述分析可知，增加的开环零点于s平面实轴上的 不同位置，它对系统根轨迹所产生的影响是不同的。 对于某一具体的开环传递函数，只有选择合适的附加零点，才有可能使控制系统的稳定性及动态性能得到显著地改善。 增加开环极点 自动控制理论 若在开环传递函数中增加一个开环极点，-p(p0)，则在根轨迹的相角方程中 增加了一个负角[-arg(s+p)]，从而导致系统的根轨迹作向右倾斜变化，这显然 不利于系统的稳定性及动态性能的改善。对此，举例如下：设一单位反馈系统 的开环传递函数为 系统的根轨迹如图4-33所示。由图可知，当参变量K由 变化时，该系统 总是稳定的。如增加一个开环极点-2，则开环传递函数变为 对应的根轨迹如图4-34所示。当K6时，系统就变为不稳定了。 图4-34 根轨迹图 图4-33 根轨迹图 用根轨迹法确定系统中的有关参数 图4-35 控制系统 试用选择参数K1和K2以使系统满足下列性能指标 自动控制理论 * * * * 作者： 浙江大学 邹伯敏 教授 自动控制理论 普通高等教育“十一五”国家级规划教材 自动控制理论 什么是根轨迹法 闭环特性方程式 当K由0→∞变化,特征根s1和s2相应的变化关系如表4-1所示。 表4-1 根与K的关系 -0.5-j∞ … -0.5-j0.87 -0.5-j0.5 -0.5 -1 s2 0.5+j∞ … -0.5+j0.87 -0.5+j0.5 -0.5 0 s1 ∞ … 1 0.5 0.25 0 K 图4-1 二阶系统 (4-1) 方程式(4-1)的根为 图4-2 系统的根轨迹 对于不同的K值,系统有下列三种不同的工作状态: 1) 0≤K＜?， s1、 s1为两相异的实数根（过阻尼状态） 2) K=?， s1、 s1为两相等实根，s1 = s2 =-0.5，（临界阻尼） 3) ?＜K＜∞， s1 、s2为一对共轭复根（欠阻尼） 如要求系统在阶跃信号的作用下，超调量为49%。 自动控制理论 由式（3-26）求得 由于 ，在图4-2上过坐标原点 作与负实轴夹角为45°和射线，它与根轨迹的 交点S= -05±j0.5，这就是所求的希望闭环极点。 图4-3 控制系统的框图 根轨迹的幅值条件与相角条件 特征方程： 于是得： 假设系统开环传递函数用零、极点形式表示： 自动控制理论 由上式可知，凡是满足方程 的s值，就是该方程的根，或是根轨迹上的 一个点。由于s 是复数，故有： 则上式改写为： 于是得： 自动控制