第四章：数值积分与数值微分.pptVIP

结论 定理6 Gauss型求积公式是数值稳定的；且对有限闭区间上的 优点 （1）收敛、稳定; 缺点 （1）Gauss点难求（即多项式的根难求）; （1）f(x) 赋值量大; 使用情况 （2）计算的积分多. 连续函数，Gauss型求积公式的值随节点数目的增加而收敛到准确 积分值. （2）计算量小，代数精度高. （2）Gauss点是无理数， Gauss求积系数也是无理数. 1. 理解掌握Gauss型求积公式及其代数精度并会求Gauss型求积公式. 2. 理解Gauss求积公式的数值稳定性、收敛性与余项、Gauss点与正交多项式的关系. 3.1 复化数值求积法 问题 如何提高求积公式的精度？ （2）复化求积公式 §3 复化数值求积公式（复合数值求积公式） 介绍最基本的求积公式 （1）增加求积节点 Gauss型求积公式. 缺点 节点是无理数，计算不方便. 解决方法 复化求积公式的原则（基本思想） f(x)的赋值不太复杂时 如 N－C公式 缺点 当n增大时，数值不稳定； 把求积区间 进行等距细分： 在每个小区间 上用相同的“基本”求积公式计算出 “基本”求积公式 梯形公式；中矩形公式； 左（右）矩形公式； Simpson公式 注 不能同时取两种或两种以上的“基本”求积公式. 的近似值Si ， 3.2 复化梯形公式 在 上采用梯形公式，记 所以 下面考虑余项，先从每个小区间上考虑余项，因为每个小区 间上是N－C公式中当n=1时的梯形公式. 1. 公式 2. 余项 定理7 , 则复化梯形公式的余项为 及渐近估计式 证明 要证(3.3)式，只要证 下证（3.3）式 定理7 , 则复化梯形公式的余项为 及渐近估计式 利用皮亚诺型Taylor公式有 定理7 , 则复化梯形公式的余项为 及渐近估计式 （1）(3.3)式说明复化梯形公式的余项收敛于零的速度比 说明 （2）余项可由端点的函数值(导数值)确定. h收敛于零的速度要快，即余项为o(h). （推导类似复化梯形公式） 3.复化中矩求积公式 在 上采用中矩形公式， 所以 4. 复化梯形公式与复化中矩求积公式的关系 复化中矩求积公式 复化梯形公式与复化中矩求积公式的关系 * 第四章 数值积分与数值微分 本章主要内容： §1 插值型数值求积公式 1.1 一般求积公式及其代数精度 1、提出问题： 一、一般求积公式 2、解决方法： 与f(x)无关的常数,称为积分系数 求积节点 数值积分 介绍一些常用的数值积分公式 数值微分 介绍一些常用的数值微分公式 外推方法 （加速收敛的方法） (1.2)和(1.3)都称之为数值求积公式或机械求积公式 。 为求积公式的截断误差（方法误差）。 3、衡量某种方法好坏的标准： （1）代数精度 （2）数值稳定性 （3）收敛性 对多少次多项式该方法无误差，即计算值是准确的。 或者说成灵敏度如何，也就是看舍入误差对计算结果影响的 即是截断误差的大小。 大小。比如病态方程组，当系数矩阵中的元素有微小变化时，引起 方程组无解。这实际上是由舍入误差或者说成舍入误差的传递造成 的。 二、代数精度 1、代数精度的定义 定义1 若求积公式（1.2）对任意不高于m次的代数多项式都 注：讨论具体问题时，不可能把所有次数小于或等于m的多 等价定义1′：若(1.2)中对于1，x,…,xm都精确成立，对xm+1不精 另外，若代数精度为m，也就是对xm(1.2)或(1.3)精确成立。则 等价定义1′′： 若(1.3)中 R[xi]=0,(i=0,1,…,m)，而R[xm+1]不为0， 精确成立，而对 xm+1不能精确成立，则称该求积公式具有m次代 数精度。 因此有等价定义。 项式列出来验证，因此只要验证对1，x,…,xm 精确成立即可。 确成立，则称(1.2)的代数精度为m。 (1.3)中若f(x)是x的m次多项式，有R(f)=0,因此定义1也可写成： 则称(1.2)的代数精度为m。 2、例子 分析：由等价定义, 解： 所以该求积公式的代数精度m=3。 求代数精度，只对最简单的函数xm来验证。 问题： 1、方法： 1.2 插值型求积公式 插值基函数 与f 无关,记为Ai 插值多项式 插值型求积公式的定义 定义2 对给定互异求积节点