第四篇多元函数微分学.pptVIP

例如：矩形的面积s=xy，描述了面积s与长x、宽y这两个量之间的函数关系。又如，烧热的铁块中每一点的温度T与该点的位置之间有着密切的函数关系，即当铁块中点的位置用坐标(x,y,x)表示时，温度T由x、y、z这三个变量确定，如果进一步考虑到冷却过程，那么T还和时间t有关，即T由x、y、x、t四个变量所决定。以上例子中两个、三个、四个变量，分别称为二元、三元、四元函数，一般称为多元函数。 三： 点函数的极限 将一元函数微分法推广到多元函数，首先要将一元函数的极限推广到多元函数。 一元函数的极限：y=f(x), f(x)=A, 即对 0, 0,当 0|x- | 时，|f(x)-A| 成立。称 f(x)=A 或对 0, 的一个去心邻域N( , )当 x N( , ) 时，f(x) N(A, )。 因此有， 定义3：设函数f(p)在点集D上有定义， 为D的聚点，A是一个定常数，如果 0, 0，当p N ( , )时，恒有 |f(p)-A| 成立 则称A是点函数f(p)当p 时的极限，记为 f(p)=A 或记为 f(p) A (p ) 多元函数的极限经常遇到的形式为n=2的情形。 n=2，p=(x,y). f(p)记为z=f(x,y), ( , ) N( , )={(x,y)|0 } ， 记p＝ 极限记为 f(x,y)=A或f(x,y) A(p ) 定理2：(可微的充分条件) z=f(x,y)的偏导 在点p(x,y)的某一领域内存在，且在点p处连续，则z=f(x,y)在p(x,y)处可微证明：应用一元函数的拉格朗日中值定理有：又由 在p(x,y)连续，所以有同理： 而所以z=f(x,y)在p(x,y)可微。经常地，记  的微分同样可记为： 例题分析：1。 解：2。解：3解： ξ3. 复合函数微分法一。连锁法则：定理1：设函数u=u(x,y),v=v(x,y)在点(x,y)的偏导数存在，函数z=f(u,v) 在相应于（x,y）的点(u,v)可微，则有：证明： f(u,v)在（u,v）可微，故  均存在，故上式当 时的极限为 例1：z= ,x=rcos ,y=rsin . 求 ， . 解： = =2xcos +2ysin =2rcos +2rsin =2r. = =2x(-rsin )+2yrcos =-2r cos sin +2r sin cos =0. 以上规则称为连锁规则。如下图所示： 对于复合函数的微分法，注意以下几点： 1. z=f(u.v),u=u(x).v=v(x).则： ，这时z实际上是x的一元函数。 2.z=f(u,v,w).u=u(x,y),v=v(x,y),w=w(x,y).则： 3.z=f(u,v,x).u=u(x,y),v=v(x,y).则： （令w=x） = . 这里的 是z=f(u,v,x)=f(u(x,y),v(x,y),x)中将y看成是常量