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第四节 一、泰勒级数 定理2. 二、函数展开成幂级数 例3. 将函数 内容小结 例9 解 因为 所以 例10 解 因为 所以 * 两类问题: 在收敛域内 和函数 求 和 展 开 本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十二章 引言 幂级数 1、有简单的收敛域； 2、其和s(x)在（-R,R）内有良好的性质； 3、其形式便于上机计算。 问题：用 来研究函数f(x) 求幂级数的和函数得 存在幂级数在其收敛域内以f (x)为和函数. 问题: 2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数? 复习Taylor公式 定义 Taylor级数 定理1 证 证毕 Maclaurin级数 Taylor级数 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则 显然结论成立 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理2’ 证 1.直接法(泰勒级数法) 第一步 第二步 第三步 第四步 例1 解 如图， 例2 解 展开成 x 的幂级数, 其中m 为任意常数 . 解: 易求出 于是得 级数 由于 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛. 因此对任意常数 m, 则 为避免研究余项 , 设此级数的和函数为 称为二项展开式 . 说明： (1) 在 x＝±1 处的收敛性与 m 有关 . (2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理. 由此得 双阶乘 2.间接展开法 根据唯一性, 利用常见展开式, 通过变量代换、 四则运算、恒等变形、 逐项求导、 逐项积分等方法，求展开式. 例如 例4 解 因为 例5 解 例6 解 例7 解 例8 解 因为 * *