线性代数 居余马 第5章 特征值和特征向量 矩阵的对角化.pptVIP

第二章 矩阵 第5章 特征值和特征向量  矩阵的对角化 令 则 且 P-1AP = ? 所以 因为 A = P?P-1 ， 所以 A100 = P?100P-1, 5.3.1 实对称矩阵的特征值 和特征向量 定义5.4 元素为复数的矩阵和向量称为复矩阵和复向量。 定义5.5 设 为复矩阵 ?A叫做A 的共轭矩阵 其中 的共轭复数。 显然 当 A为实对称矩阵时, 共轭矩阵有以下性质： (5) 若A可逆，则 当且仅当 x=O时等号成立。 (6) 若A为方阵，则 (7) 若 x 为 n 维复向量， 则 定理5.10 实对称矩阵A的特征值都是实数。 故得?? = ? ， 即?都是实数。 ) ( ) ( ) ( x x x x l l T T = x A x x A x T T ) ( ) ( ) ( = = T 证 设? 是A的任一个特征值， (?A)T= A， A x = ? x ( x ?0),只需证?? = ?。 证明： 设 A xi= ?ixi, xi ? 0 (i=1, 2), ?1 ? ?2（实数），则 ?1x2T x1=x2T A x1= x2T A Tx1 =(A x2)T x1= (?2x2)T x1 = ?2 x2T x1 而?1? ?2，所以 x2T x1=(x1, x2)=0，即x1与x2是正交的。 定理5.11 实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量是正交的。 例 设有实对称矩阵 验证 A 的属于不同特征值的特征向量相互正交. 解 可求得 A 的特征值为 ?1 = ?2 = -1 , ?3 = 8 . A 的属于特征值 – 1 的全部特征向量为 (c1 , c2 是不全为零的任意 常数) A 的属于特征值 8 的全部特征向量为 (c3 ? 0 为任意常数) 不难验证向量 与 正交； 与 正交. 即，对应于特征值 –1 的任一特征向量都与对应于特 征值 8 的任一特征向量正交. 5.3.2 实对称矩阵的对角化 5.2 矩阵可对角化的条件 定理5.5 n 阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。 证明： 必要性 设P?1AP= diag(?1,? 2,?,? n) =?, 即 AP=P? (1) 将矩阵P 按列分块为 P =(x1, x2,?, xn), (1)式即为 即x1, x2,?, xn是A的n个线性无关的特征向量(因为P可逆，所以 x1, x2,?, xn线性无关)。必要性得证。 (2) 得 A xj = ?j x j ( xj?0, j=1,2,?,n) (3) 充分性 若A有n个线性无关的特征向量x1, x2,?, xn,, 即(3)式成立，由(3)式可得(2)式，从而(1)式成立。充分性得证。 A与对角阵?相似， ?的主对角元是A的特征值，若不计其排列顺序，则? 唯一，称?为A的相似标准形。 与对角阵相似的矩阵, 称为可对角化矩阵。 定理5.6 矩阵A属于不同特征值的特征向量是线性无关的。 推论：n阶矩阵A有n个不同的特征值，则 A与对角阵相似。 注意：这里的条件是充分的，但不是必要的。 证明： 设A的m个互不相同的特征值为?1, ?2,?, ?m， 其对应的特征向量分别为 x1, x2,?, xm。 对m作归纳法。 当m=1时， x1 ?0，线性无关；假设m=k时， 命题成立；对m=k+1，设 a1x1+ a2x2+…+ akxk+ ak+1xk+1=0 (1) 则 A(a1x1+ a2x2+…+ akxk+ ak+1xk+1)=0 即 a1 ?1x1+ a2 ?2x2+…+ ak ?kxk+ ak+1 ?k+1xk+1=0 (2) 由 ( 1) ? (2) 得 a1(?k+1? ?1) x1+ a2 (?k+1? ?2)x2+…+ ak (?k+1? ?k)xk=0 由于x1, x2,?, xk 线性无关，ai ( ?k+1? ?i)=0, i=1,2, …,k， 又因为 ?k+1 ? ?i, 所以，ai =0, i=1,2, …,k。代入(1)，得ak+1=0。所以，x1, x2,