线性代数 第3.3节 向量组的线性相关性.pptVIP

第3.3节 向量组的线性相关性 性质2: 两个向量线性相关 的充要条件是它们的 各对应分量成比例. 性质3:若一个向量组中有一部分向量线性相关，则这 个向量组也线性相关.(部分相关，整体必相关。) 性质4: 如果向量组线性无关，则它的任何一个部分组也线性无关。(整体无关，部分必无关) 证明:用反证法. 若部分向量组线性相关,由性质3可知,整个向量组也线性相关,这与已知条件矛盾,故证. * * 主要内容: 一．线性组合与线性表示 二．向量组的线性相关性 三．思考与练习 一、线性组合与线性表示 定义1：给定向量组 对于任何一组实数 向量 称为向量组A的一个 线性组合， 称为这个线性组合的系数。 定义2：给定向量组 和向量 如果存在一组实数 使得 则称向量 是向量组A的线性组合， 或称向量 能由向量组A线性表示。 例如： 有 所以，称 是 的线性组合， 或 可以由 线性表示。 ? 零向量是任一同维向量组 的线性组合； ? 是 的线性组合； ? 向量组 中的任一向量 都是该向量组 的线性组合. 定理1: 判断向量 可否由向量组 线性表示的定理。 向量 可由向量组 线性表示的 充分必要条件是： 以 为系数列向量，以 为常数项列向量 的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。 线性方程组的矩阵表示和向量表示： (1) 令 方程组(1)可表示为 则方程组(1)可表示为 矩阵形式 向量形式 ? 设 判断 线性表示. 能否由 解 考虑线性方程组 即有 由向量相等的定义得到如下线性方程组 因系数行列式 由Cramer法则得此线性方程组有惟一的一组解 即 惟一线性表示。 可由 ? 设 判断 能否由 线性表示. 解 设 不存在。 即 线性表示。 不能由 ? 设 判断 线性表示 能否由 线性方程组有无穷多解，则 不但能由 线性表示，且有无穷多种线性表示的方法。 线性方程组有无穷多解 解 (2) 解线性方程组 (1) 设 　线性组合判定步骤 有解； 无解； 确定 与 的关系 线性组合； 非线性组合； (3) 对应 中解的两种情况 二、向量组的线性相关性 定义3： 即只有当 时，才有 成立，则 是线性无关的。 1.在向量组的线性相关定义中,只要求存在不全为零的数 , 使得 成立,并不要求 都不等于零. 2.在向量组的线性无关定义中,要特别注意“只有当”这个词. 3.一个向量组不是线性无关,就必然是线性相关. 注： 几何意义： (1)两向量线性相关：两向量共线. (2)三向量线性相关：三向量共面. 例1： 设向量? 1=(1, 2, 1), ? 2=(2, 0, 1), ? 3=(5, 2, 3), 由于存在k1=1, k2=2, k3= ?1, 使 k1? 1+ k2 ? 2+ k3? 3=(1, 2, 1)+2(2, 0, 1)+(?1)(5, 2, 3) =(0, 0, 0) 故 ? 1, ? 2, ? 3 线性相关. 例2: n维单位向量组是线性无关的. 解: ? 1=(1, 0, ???, 0), ? 2=(0, 1, ???, 0),…, ? n=(0, 0, ???, 1) 考察 即 故n维单位向量组(或基本向量组)是 线性无关的. 只有当 上式才成立, 解：设数 使得 成立。 即 未知量为 系数行列式 齐次线性方程组有 非零解，所以向量 线性相关。 例3: 已知 ，试讨论向量组 的线性相关性。 例4: 因为系数行列式不等于零,故方程组只有零解. 齐次线性方程组 若 线性相关?(2)有非零解， 若 线性无关?(2)只有零解。 (2) 　线性相关性与齐次线性方程组 n个n维向量组 线性相关 推论1 证明 向量组 线性相关 可得 的齐次线性方程组 存在一组不全为零的数 使得 成立, 由Cramer法则及其推论可知,该线性方程组有非零解充