线性代数-特征值与特征向量2.pptxVIP

§3 相似矩阵 1. 概念的引入 ——相似矩阵 使 定义：设 A, B 都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵 P 满足 P ?1AP = B ， 则称 B 为矩阵 A 的相似矩阵，或称矩阵A 和 B 相似． 对 A 进行运算 P ?1AP 称为对 A 进行相似变换． 称可逆矩阵 P 为把 A 变成 B 的相似变换矩阵． 定理 方阵 A 与 B 等价的充要条件是存在 m 阶可逆矩阵 P 及 n 阶可逆矩阵 Q ，使 PAQ = B . 二、相似矩阵的性质 证 于是 二、相似矩阵的性质 ⑷ 定理 定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同, 从而 A 和 B 的特征值也相同． 证明：根据题意，存在可逆矩阵 P ，使得 P ?1AP = B ． 于是 | B ?lE | = | P ?1AP ? P ?1(lE) P | = | P ?1(A?lE ) P | = | P ?1| |A?lE | |P | = |A?lE | ． 说明 例如 设 则有 又设 矛盾！ 注意： 与单位阵相似的矩阵一定是单位阵. 说明 问题： 定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同, 从而 A 和 B 的特征值也相同． 推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j (A) 和 B 的 多项式 j (B) 相似． 证明：设存在可逆矩阵 P ，使得 P ?1AP = B ，则P ?1AkP = Bk . 设j (x) = cmxm + cm?1xm?1 + … + c1x + c0，那么 P ?1 j (A) P = P ?1 (cmAm + cm?1Am?1 + … + c1A + c0 E) P = cm P ?1 Am P + cm?1P ?1 A m?1 P + … + c1 P ?1 A P + c0 P ?1 EP = cmBm + cm?1Bm?1 + … + c1B + c0 E = j (B) . 说明 则有 定理：设 n 阶矩阵 L = diag(l1, l2, …, ln )，则l1, l2, …, ln 就 是 L 的 n 个特征值． 证明： 故 l1, l2, …, ln 就是 L 的 n 个特征值． 定理：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 和 B 的特征多项式相同, 从而 A 和 B 的特征值也相同． 推论：若 n 阶矩阵 A 和 B 相似，则 A 的多项式 j (A) 和 B 的 多项式 j (B) 相似． 若 n 阶矩阵 A 和 n 阶对角阵 L = diag(l1, l2, …, ln ) 相似，则 从而通过计算j (L) 可方便地计算j (A). 若j (l) = | A?lE |，那么 j (A) = O（零矩阵）. 三、方阵可对角化的充要条件 1. 方阵对角化的概念 说明 2. 定理的引入 反过来， 是依次与之对应的特征向量，则 3. 方阵可对角化的充要条件 推论 说明 但是，有 重根时，也有可能能对角化. 所以 可逆矩阵 P ，满足 P ?1AP = L （对角阵） AP = PL Api = li pi (i = 1, 2, …, n) A 的 特征值 对应的 特征向量 其中 定理： n 阶矩阵 A 和对角阵相似 当且仅当 A 有 n 个线性无关的特征向量 推论：如果 A 有 n 个 不同的特征值，则 A 和对角阵相似． 解 析：此例是定理的应用. 定理表明： 由此可推得另一个充要条件： 说明 解 再求特征向量， 解之，得基础解系 解之，得基础解系 说明 求相似变换矩阵的步骤： ⑴ 求特征值； ⑵ 求对应的线性无关特征向量（即基础解系） (向量个数=相应特征值的重数)； ⑶ 若线性无关的特征向量的个数等于矩阵的阶数，则相似变换矩阵存在(否则不存在)，由线性无关的特征向量构成的矩阵就是所求. 四、小结 §4 对称矩阵的对角化 一、实对称阵的性质 定理 实对称阵的特征值为实数. 于是有 实对称阵的特征值为实数. 一、实对称阵的性质 定理 实对称阵的特征值为实数. 定理 对应的特征向量， 对称阵的对应于不同特征值的特征向量正交. 由定理假设知， 一、实对称阵的性质 定理 实对称阵的特征值为实数. 定理 对应的特征向量， 定理 推论 P243 Th5.12 说明 第一个定理表明，实对称阵的特征向量可取实向量. 这是因为， 的系数矩阵是实矩阵，必有实的基础解系. 第二个定理表明，实对称阵的特征向量可取为两两正交的向量