线性代数第二章释疑解难.pptVIP

释 疑 解 难 答 矩阵是线性代数中最重要的部分,它是线 性代数的有力工具. 它是根据实际需要提出的, 大 量的问题借助它可以得到解决. 譬如, 一般线性方 程组有解的充要条件是用矩阵的秩表示的; 作为 解线性方程组基础的克拉默法则也可以用矩阵运 算导出. 二次型的研究可以转化为对称矩阵的研 1. 为什么要研究矩阵? 究; 化二次型为标准形,实际上就是化对称矩阵为合 同对角形与合同标准形; 线性变换可以用矩阵来表 示, 从而把线性变换的研究转化为矩阵的研究. 矩阵运算的实质, 是把它当作一个“量”来进行 运算, 因而使得运算得到大大简化. 2. 任何两个矩阵 A，B 都能进行加(减)和 相 乘运算吗? 答 不是. (1) 只有当 A,B 为同型矩阵时, 才能 进行加(减)运算. (2) 只有当第一个矩阵 A 的列数与 第二个矩阵 B 的行数相同时, A 与 B 才能相乘, 这 时 AB 才存在. 3. 两个矩阵 A，B 相乘时, AB = BA 吗? |AB| = |BA| 吗? 答 AB 不一定等于 BA. 若要 AB = BA , 首 先要使 AB 和 BA 都存在,此时A，Ｂ应为同阶方 阵. 其次矩阵的乘法不满足交换律. 在一般情况 下, AB ? BA . 但对同阶方阵 A，B , |AB| = |BA| 是一定成立的. 因为对于数的运算, 交换律 是成立的, 即 |AB| = |A| |B | = |B| |A| = |BA| . 4. 若 AB = AC 能推出 B = C 吗? 答 不能. 因为矩阵的乘法不满足消去律. 例如 则 AB = AC , 但 B ? C. 5. 非零矩阵相乘时, 结果一定不是零矩 阵吗? 答 非零矩阵相乘的结果可能是零矩阵. 例如 但 又如 但 6. 设 A 与 B 为 n 阶方阵, 问等式 A2 - B2 = (A + B)(A - B) 成立的充要条件是什么？ 答 A2 - B2 = (A + B)(A - B) 成立的充要条件 是 AB = BA . 事实上，由于 (A + B)(A - B) = A2 + BA - AB - B2, 故 A2 - B2 = (A + B)(A - B) 当且仅当 BA - AB = O， 即 AB = BA. 7. 设 A，B，C 是与E 同阶的方阵, 其 中 E 是单位矩阵. 若 ABC = E，问：BCA = E，ACB = E，CAB =E，BAC = E，CBA = E 中哪些总是成立的？哪些却不一定成立？ 答 由于 ABC =E，说明 BC 是 A 的逆矩阵， AB 是 C 的逆矩阵，由于任何方阵与其逆矩阵相乘 可交换，故总有 BCA =E ，CAB =E 成立. 而其他的等式不一定成立. 8. 设方阵 A 满足 ax2 + bx + c = 0 (c ? 0), 即有aA2 + bA + cE = O . 问：A 可逆 吗？若可逆求 A-1 . 答 由 aA2 + bA + cE = O 及 c ? 0，可得 从而 A 为可逆方阵，而且 9. 如果一个方阵的逆矩阵存在，求它的 逆矩阵都有些什么方法？ 答 可以利用伴随矩阵法，即 还可以利用分块矩阵法求逆；利用解方程组的方 法求逆；利用矩阵的初等行变换法求逆等等. 10. 有没有不是方阵的矩阵 A，B，满足 AB = E？ 答 有. 例如 则 11. 是否存在 n 阶方阵 A 和 B ，能使 AB - BA = E ？ 答 没有. 设 A = (aij) , B = (bij) 为任意两个 n 阶方阵，则 AB 主对角线上的元素为 它们的和为