线性方程组2.n维向量.pptVIP

* * 第二节：n 维向量 . 当线性方程组有无穷多解时 ，这些解之间的关系如何 ？以及如何表示这些解 ？是我们关心的问题 ，在这一节我们将引入 n 维向量的概念 ，并研究向量间的线性关系以解决这一问题 。 本节主要讨论以下两个问题 ： 1 . n 维向量空间的定义 。 2 . n 维向量间的线性关系 ， 主要有线性表示，线性相关 ，线性无关 ， 以及它们之间的关系 。 向量一般用小写希腊字母 ? ? ? ? ? ? 表示 。 一 . n 维向量及其线性关系 。 n 维向量 。 前者称为 n 维行向量 ,后者称为 n 维列向量 。 向量是数学中的一个极为重要的概念 , 在数学的各分支及其它学科中 ，向量的概念及有关性质都有广泛的应用 。 n 维向量是平面(空间)解析几何中，2 (3) 维几何向量的推广，只不过当 n ＞3 时，它没有几何上的直观意义，只是沿用几何上的术语而已。 例如，导弹在空中飞行时的每一个壮态均可看成一个七维向量， 其中m 表示导弹的质量 ， 例 1 . 线性方程组 的一组解 也可以记为 ? ? ?c1 ? c2 ? cn? 并且称 ? 是线性方程组 ⑴ 的一个解向量 ，简称 ? 是线性方程组 ⑴ 的一个解 。 向量运算 : 1. 加法 ： 由向量的加法与负向量的定义，还可以定义 向量的减法运算， 2. 数乘：(数与向量的乘法) 向量的加法与数乘运算统称为向量的线性运算 , 由定义不难证明向量的线性运算适合下述 八条运算性质 加法适合的 4 条运算性质 ： 数乘适合的 4 条运算性质 ： 定理：对数 k 与向量 ? ，则 k ? =0 的充分必要条件是 k =0 或 ? =0 。 (请你自己给出证明) 1. 线性表示 。 例 3 . 零向量可由任意向量组线性表示 ， 只要取组合系数全部为零即可 。 二.向量间的线性关系 例4：m 个方程 n 个未知量的线性方程组 的系数矩阵 A 的第 j 列与 ⑴ 的常数项均可由m 维的向量来表示 ，( 也可取増广矩阵的第 j 列 ) 提示：方程个数=向量维数 ， 未知量个数= A 中列向量的向量个数 。 称 ⑵ 为线性方程组 ⑴ 的向量表示。 因此我们有 定理 ：(书上P70,P57） 向量 ? 可以用向量组 ?1 ??2 ? ?n 线性表示 的充分必要条件是线性方程组 ⑴ 有解 。 (解向量的分量即为线性表示的组合系数) 例6 ：设向量组 ( 向量相等即向量的对应分量相等 ) (理由同前) 这是一个矛盾方程组 ，无解 。 向量 ? 可以由 ?1 ? ?2 ? ?3 ，线性表示，而不能由 ?1 ，?2 线性表示 ，这与向量组 ? ，?1 ，?2 和向量组 ?，?1 ? ?2 ? ?3 本身的属性有关 。 因此，我们引入下面的概念 ：(第二个线性关系) 2. 向量组的线性相关(无关)。 定义：设向量组 线性无关。 (本定义要求知道向量的分量) 由于齐次线性方程组要么只有零解 ，要么必有非零解 ，两者必有一个成立 。所以，一个向量组要么线性无关 ，要么线性相关 ， 两者必有一个成立 。 向量组线性无关，线性相关的几何意义 见书上 P73,P59 —— 请自看 ！ 例1 . 判断向量组 ?1= (1，0，-1，2) ， ?2= (-1，-1，2，-4) ， ?3 = ?2，3，-5，10? 是否线性相关 。 解 ：设有数 k1 ，k2 ，k3 使得 k1?1+k2?2+ k3?3= 0 ，代入向量的分量 可得关于未知量 k1 ，k2 ，k3 的齐次线性方程组 对齐次线性方程组 ⑴ 应用矩阵消元法 ， 非零行数 r = 2 , 未知量个数 = 3 由阶梯形矩阵 ⑵ 可知齐次线性方程组 ⑴ 有非零解，即向量组 线性相关。 解 ： 设 k1?1+ k2?2+ ? + kn?n= 0 ， 即 ??1 ? ?2 ? ?n ? ? ? ? ? ? ? ? ? 所以 ki=0 ，i =1 ，2 …. n 。 即 ?1， ?2 …. ?n 线性无关 。 由向量组线性相关 (无关)的定义，不难得到 ： 定理：n+s (s0 的整数)个 n 维向量必线性相关。 证明：这是因为相应的齐次线性方程组中 方程个数未知量个数，