群论-第二章 群表示理论 2011.12.7.pptVIP

◆ 新的基矢 将三维实空间分解为C3h 群的3个不变子空间。 * 第七节 直积群的表示 1 1 1 1 1 1 1 1 -1 * ； 如何构造直积群G的表示？ * la维与lb维方阵的直积是la?lb 维方阵。 （m×n矩阵与p×q矩阵直积为mp×nq 维） 矩阵直积的定义： ⑴ 直积群的表示就是直因子群表示的直积。 （直因子群表示的直积构成直积群的表示） * 证明：只需证对 有 即 ⑵ 两个直因子群的不可约表示的直积构成直积群 的不可约表示。 * 不可约表示判据： ⑶ 直因子群所有不可约表示的直积给出直积群的 全部不可约表示。 * 可见， ，即，直因子群所有不可约表示的直积表示的个数=直积群的不可约表示的个数，命题成立。 证：G= Ga?Gb，Ga 的不可约表示Da ，维度 la ； Gb：Db , lb ；G的不可约表示D，维度Labg = la lb 。 有 同第100页的 结果 * 例：由 C3和 C1h的不可约表示确定C3h的不可约表示： * * 1和3列对应相乘再加=0，∴ x2= –2； 类推… 留作习题 对于一个群表示，需要做： ①判定一个矩阵表示是否可约。 ②把一个可约表示化成不可约表示的直和。 （表示空间的约化） * 第六节 可约表示的约化： 投影算符法 有限群G在某线性空间V中有可约表示D， * D(R)的约化计算并不容易。 新基矢 ： j：不可约表示；i：出现次数；k：基矢所属列。 * 准对角化过程，相当于空间基矢做变换 * ◆由已知的可约表示基矢可确定不可约表示的基矢。 构成V 的一个不变子空间(D j 不可约表示的表示空间)。 投影算符方法可由可约表示基矢确定不可约表示基矢。 * 投影算符Pj 的涵义（1）： 从不可约表示基矢中，投影出 基矢（i=1…aj）。 j 固定， (i=1…aj)构成一个 aj 维空间( E j子空间)。V 中任一函数： Pj 作用后： 投影算符Pj 的涵义（2） ： Pj 是V 到 E j上的投影算符。 （或说，Pj 是V 中任意函数f 到E j上的投影算符。） * 定理1. f1…fN是空间V 的基矢， 共N个矢量中必有且仅有aj个线性独立的矢量，可作为E j子空间的基矢。 证明：只需证E j中任意矢量均可由N个矢量 线性组合表示。 * 定理2. E j子空间中有一个归一化矢量 ，必可根据该矢量生成lj个正交归一矢量，构成不可约表示D j的基矢。 * * 可作为第j个不可约表示的正交归一基矢，生成不可约表示D j 的一个不变子空间 。 证毕。 * 类似地，共可构造aj个不同的基矢组： 生成 aj个按D j变换的不变子空间 ， 它们彼此正交。 * 即，可由一个 得到 ，进而可由 得到 。 定义位移算符： * 例1. { f1 = x2, f2 = y2, f3 = 2xy}，D3群的表示矩阵如下。 * D3 e 2c3 3c2′ 1 1 1 1 1 ?1 2 ?1 0 D3群不可约表示的特征标表： D3群的2维不可约表示D(3)： * 3维表示的特征标系：{3，0，0，1，1，1}. ① 构造投影算符： * ②用位移算符确定 ： * 例2. 群 和 的直积群： * 构造直积群的两个群必须满足： 1. 只有一个公共元素（单位元）； 2. 来自两直积因子中的任两个元素对易。 如： ：垂直转轴之平面的镜面反射 P′ σh P P′″ P″ * 循环群是Abel群 ，类的数目=群阶，6个不可约表示。 所有不可