考研数学拓展班第2讲：连续,导数与微分2014.3.19.pptVIP

(4) 求导公式 1) 参数方程求导公式: 1) x=x(t) 严格单调 , 连续且有导数 2) y=y(t) 可导 , 则有 设 , 满足 2) 变限积分函数的求导公式: 设 f (t) 为连续函数 , ?1(x) , ?2(x) 可导 , 则 3) n 阶导数的求导公式: 设函数 u(x) , v(x) n 阶可导 , 则有 ( 莱布尼兹公式 ) 例18 求 解 例19 设 f (x) 有连续导数 , 且 当 x → 0 时 , 与 是同阶无穷小 , 问 k = ? 解 又由 所以 例20 求下列函数的 n 阶导数 解 (1) 归纳法可得 (2) 例21 设 , 求 解 利用莱布尼茨公式有 (5) 微分公式 设 u , v 可微 , c 为常数 , 则有 (6) 一阶微分形式的不变性 不论 u 是自变量还是中间变量 , 都有 (7) 对数求导法 例22 设 y=y(x) 由 所确定 , 求 dy . 解 在等式两边取全微分得 解得 例23 06-4 设函数y=f(x)具有二阶导数，且 解1 由几何意义画图即可得A。 例24 06-4 设函数y=f(x)具有二阶导数，且 解2 解3 例24 设 , 求 解 两边取对数有 两边对 x 求导得 备例1 下列函数中, 在定义域上连续的函数是 ( ) 解 在 处， 为初等函数，所以连续 所以选 (B) 任给一张面积为 A 的纸片(如图), 证明必可将它 备例2 一刀剪为面积相等的两片. 提示: 建立坐标系如图. 则面积函数 因 故由介值定理可知: 备例3 设 , 求 ( t 0 ) 解 本题为极限的逆问题，已知某极限存在，需要 * 本题为极限的逆问题，已知某极限存在，需要 * §4 连 续 1°连续的概念 (1) 若 , 则称 f (x) 在 x0 处右连续 (2) 若 , 则称 f (x) 在 x0 处左连续 第二讲 连续，导数与微分 若 则称函数 2°连续性的重要结论 f (x) 在 x0 处连续 ? f (x) 在 x0 处左连续且右连续 (2) 连续性的四则运算法则 如果 f (x)、g(x) 在 x0 处连续 ,则 在 x0 处也连续 (1) 连续的充要条件 处连续， 反之不成立。 (3) 复合函数的连续性: 如果 u=? (x) 在 x0 处连续 , y = f (u) 在 u0 ( u0= ?(x0)) 处连续 , 则 y = f (?(x)) 在 x0 处连续 , 即连续函数的复 合在其定义区间上连续. (4) 反函数的连续性: 如果 y=f (x) 在区间 Ix 上单调且连续 , 则其反函数 在其定义区间上也连续且有相同的单调性 . (5) 初等函数的连续性: 一切初等函数在其定义区间上连续. 例1 设 , 试确定 a , b 使 f (x) 在 x = -1 处连续 解 当 时，即 时 f (x) 在 处连续 例2 解 (1) f (x)在R上处处不连续，但 在R上处处连续； (2) f (x)在R上处处有定义，但仅在一点连续. 试分别举出具有以下性质的函数 f(x) 的例子： 3°函数的间断点 间断点: f(x) 的不连续点称为间断点 间断点 振荡 同时存在 可去 跳跃 无穷 类 第 一 至少有一个不存在 第 二 类 例3 讨论函数 的连续性. 解 为两个间断点. 因为 f (x) 是初等函数，所以 f (x) 在除 的点处连续 可知 是第二类间断点 可知 是跳跃间断点. 4°闭区间上的连续函数性质 (1) 最值定理 设 f (x) 在 [a , b] 上连续 , 则 f (x) 必能取得其 在 [ a , b ] 上的最大值和最小值 (2) 介值定理 设 f(x) 在 [a , b] 上连续 , 则对介于 f(a) , f(b)