自考第3章3柯西公式.pptVIP

* §3.3 柯西积分公式 复习： D C (2) C C 如果 在C的内部， 则 整数 如果 在C的外部， 则 在C围成 (1) 若 在单连通 解析, 则 任何一条 的积分为零 沿D内 区域D内 简单闭曲线C 设C 若 在C上连续、 则 在C的内部 解析 是一条简单 闭曲线, 的闭区域 处处解析 Th3.9 若 在区域D内 D 边界C上 C取正向 则 证 在 连续, 即 对 存在 当 时 设正向圆周K： 根据Th3.8 解析、 连续， 柯西积分公式的应用 若 设C是 C 在C的内部D 边界上 则 即 特别 例1 计算 其中C是 解 在C的内部 在C 正向闭曲线, 解析、 连续 的内部 解析 正向圆周： 积分算法六 例2 计算 解 其中C是 正向圆周： 原式= 在C的内部, 在C 的内部 解析 例3 计算 其中C： 正向 解 在C的内部， 在C 的内部 解析 原式= 例4 计算 解 在C的内部, 例5 计算 其中C: 正向 解 在C的内部， 在C 的内部 解析 在C 的内部 解析 其中C是 正向圆周： 原式= 原式 解析函数的无穷次可微性 解析函数 且 一定是 则它的导数 也在区域D内 Th3.11 若 特别若 则 的导数 解析函数 在区域D内 边界C上 C取正向 解析、 连续， 解析, 柯西积分公式的应用 若 C 则 特别若 则 在区域D内 边界C上 C取正向 解析、 连续， 例1 计算 其中C: 正向 解 在C的内部， 计算 其中C: 正向 为 的任何复数 解 若 则 在C的内部， 若 则 在 上处处解析 原式 =0 在C 的内部 解析 原式 例3 计算 其中C: 正向 解 在C的内部, 例4 计算 其中C为 解 在C的内部, 在C 的内部 解析 在C 的内部 解析 正向圆周: 原式 原式 闭曲线 若 在C ,C1 , C2 , C3 则 C C1 C2 C3 或 同向相等 异向互为相反数 边界上 设闭曲线C (逆时针) 取正向 C1 , C2 , C3 (逆时针) 取正向 围成的 区域内 解析、 连续 复习定理3.8 例2 计算 其中 正向 解 在C1 取 正向， 则 59页10(7) 则 在C1 的内部 解析 的内部, 例5 计算 解 在C的内部, 以 被积函数 C 为中心 以 为中心 被积函数 在C ,C1 C2 其中C为 正向圆周: 围成的 区域内 解析、 的奇点 作正向圆周C1 , 作正向圆周C2 原式 58页13. 设 在区域D内 D 曲线C为 正向简单 C 其内部 为C内 在D内. 与 如果 在曲线C上 试证 在曲线C内 也都成立 证明 设 根据柯西积分公式 在D内 根据柯西积分公式 在曲线C上 都成立 因此 解析, 解析, 在D内 解析, D任何一条 闭曲线, 完全包含 所有的点处 都成立 所有的点处 任何一点, 所有的点 58页11. 设C表示 及 求 解 在 上解析 正向圆周： 58页12. 其中C表示 计算积分 由此证明 解 由 得到 上面的等式变为 因此 正向圆周 如果 在单连通域D内 解析, 则 沿D内任何 的积分为零 复习 (1)柯西积分定理 如果 在单连通域D内 解析, 则函数 (2)原函数存在定理 在D内 而且 (3) Morera定理 设函数 在单连通域D内 且 的积分为零 则 在D内解析 证明 则 是终点 的单值函数, 在D内处处解析, 而且 根据 故 在D内解析 一条封闭曲线C 解析 解析函数 一定是 的导数 解析函数 解析函数 一定是 的导数 解析函数 连续, 沿D内任何 一条封闭曲线C *