自考第4章2幂级数.pptVIP

* 1. 幂级数概念 §2 幂级数 设函数序列 在区域D内有定义 称为函数项级数, 其中最前面的n项和 称为该级数 如果 则称 在z0处收敛, 称为它的和. 如果该级数 在D内处处收敛, 那么它的和 称为该级数 的和函数, 也称为该级数收敛于 令 或 得到幂级数 的部分和. 函数项级数 对于区域D内 某一点z0 一定是z的函数 称为幂级数 (阿贝尔定理) 设 如果 收敛, 则当 时 绝对收敛 如果 发散, 则当 时 发散 推论 若 在z =z0处收敛 则当 时 绝对收敛 定理4.12 例如 在z =—1 则当 绝对收敛 设幂级数 此时该级数在z =2处 绝对收敛 能否在z=0处 例如 幂级数 而在z =3处 时 不能 若在z =0处收敛， 则在z =3处绝对收敛 若在z =3处发散， 则在z =0处发散 处收敛 收敛 发散？ 2. 幂级数的收敛圆 和收敛半径 对于幂级数 如果存在 当 时 绝对收敛, 当 时 发散 当 时 可能收敛 也可能发散 则称R为该级数 称为该级数 的收敛半径 正实数R 的收敛圆周 例1 如果级数 在它的收敛圆周上 绝对收敛 证明 绝对收敛 证 根据条件 收敛 当 时 根据级数收敛 收敛 所以 在其收敛圆 绝对收敛 一点z0 在收敛圆 所围成的闭区域上 围成的闭区域上 的比较判别法 例2 设级数 收敛, 而 发散 证明 的收敛半径 证 因为级数 收敛, 即 在z =1处 所以当 时 绝对收敛 由 假若 而且 收敛 则当 时 绝对收敛 此时在z =1处 即 收敛 为1 绝对收敛 收敛 所以 的收敛半径 为1 发散, 可以证明 当 时 发散 比值法 如果 3. 收敛半径的计算方法 对于幂级数 则收敛半径 根值法 如果 则收敛半径 定理4.14 例4. 求下列幂级数 的收敛半径 (1) (1) 解 P为正整数 (2) (2) 解 例4续. 求下列幂级数 的收敛半径 (3) (3) 解 (4) (4) 解 设 4. 幂级数运算和性质 的收敛半径 和函数为 即 设 的收敛半径 和函数为 即 当 时 为R1 , 为R2 , 注意 的收敛半径 的收敛半径 的收敛半径 可能大于 例如 的收敛半径 的收敛半径 的收敛半径 等式成立 和 的条件是 为1, 为1 设 存在, 例3. 下列三个幂级数 的收敛半径相同 证明 因为 存在, 所以 也存在, 则 三个幂级数 的收敛半径 *