课件8概率论详解.ppt

* 证明 * * * * * 同理可得 故有 * 当 X, Y 独立时, 由此可得概率密度为 * 解 由公式 例7 * 得所求密度函数 得 * 则有 * 故有 * 推广 * 例8 * 解 * * * * 再由分布函数求概率密度. * * 定理 * 证明 X 的概率密度为 例5 * * 解 例6 * * * 例如， 所以 * * * 作 业 P61-62： 34，35，39 预习 第三章 随机变量的数字特征 * 离散型随机变量函数的分布 连续型随机变量函数的分布 ** 两个随机变量函数的分布 * 离散型随机变量函数的分布 例1 * 概率 解 等价于 * 概率 * * 结论 * 例2 设两个独立的随机变量 X 与 Y 的分布为 得 因为 X 与 Y 相互独立, 所以 解 求随机变量 的分布律. * 可得 所以 * 例3 设相互独立的两个随机变量 X, Y 具有同一 分布律,且 X 的分布律为 于是 解 * * 二、连续型随机变量函数的分布 1. Z=X+Y 的分布 * 由此可得概率密度函数为 由于 X 与 Y 对称, 当 X, Y 独立时, * 由公式 解 例4 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标准正态分布,求 Z=X+Y 的概率密度. * 得 * 说明 有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布. * 解 例5 * * 此时 * * 例6 * 复习.连续型随机变量的概率密度 定义 如果对于随机变量X 的分布函数F(x)， 存在非负可积函数 f (x)，使得对于任意 实数 x，有 则称 X 为连续型随机变量，其中函数 f (x) 称 为X 的概率密度函数,简称概率密度. 连续型随机变量 X 由其密度函数唯一确定． 连续型随机变量的分布函数F（x）在（－∞，＋∞） 内处处连续。 * 由定义知道，概率密度 f(x) 具有以下性质： f (x) 0 x 1 f (x) x 0 * 注 意 连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似，但是，密度函数不是概率！ 连续型随机变量的一个重要特点 * 说 明 由上述性质可知，对于连续型随机变量，我 们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义； 我们所关心的是它在某一区间上取值的问题． P(a ? X b)= P(aX?b)=P(a ? X ? b)=P(aXb) X在某区间的概率等于密度函数在此区间的定积分 * 复习.一些常见的连续型分布 1．均匀分布 若随机变量 X 的密度函数为 记作 X ~ U [a , b] * 2．指数分布 如果随机变量 X 的密度函数为 记作 X ~ EP （ ） * 3．正态分布（或称高斯分布） * 标准正态分布的计算 * 标准正态分布的计算 x 0 x -x * 一般正态分布的概率计算 * 一般正态分布的概率计算 * 正态分布的实际应用 已知90分以上的12人，60分以下的83人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人能否被录取？ 某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人报名，假设报名者的考试成绩 分析 首先求出 和 然后根据录取率或者分数线确定能否被录取 * 解 因为成绩X服从 录取率为 可得 得 查表得 * 解 查表得 ……….. 解得 故 设录取的最低分为 则应有 某人78分，可 被录取。 * 一、离散型随机变量的函数的分布 二、连续型随机变量的函数的分布 第八讲 随机变量的函数的分布 * 问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣. 求截面面积 A = 的分布. 例如，已知圆轴截面直径 d 的分布， 已知t=t0 时刻噪声电压 V 的分布， 求功率 W=V2/R (R为电阻）的分布等. 这类问题无论在实践中还是在理论上都是重要的. 问题的一般提法 * 一、离散型随机变量的函数的分布 * Y 的可能值为 即 0, 1, 4. 解 例1 * 故Y 的分布律为 由此归纳出离散型随机变量函数的分布的求法. * 离散型随机变量的函数的分布 * Y 的分布律为 例2 解 设 * 例 设随机变量X的分布律为 求 的分布律。 解：分析 * 所以 只有3个可能的取值：-1，0，1 概率分别为 * 所以 的分布律为 * 二、连续型随机变量函数的概率密度 设随机变量X的概率