行列式的性质2.1.2.pptVIP

小结 数 = = 线 性 代 * 一般地,按照行列式的递推(归)定义来计算n阶行列式,通常是很繁琐的.因此我们有必要来研究行列式的性质,利用这一些性质可使行列式的计算简化. 行列式的性质 记 性质 1 行列式与它的转置行列式相等 意义 ： 行列式中的行与列具有同等的地位； .例如 证明思想 ： 仍然是从定义出发证，祥略。 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 为什么？？ .例如 性质 2 将行列式的两行(列)对调,行列式变号 推论 性质 3(展开法则) 行列式等于它的任意一行(列)中所 有元素与它们对应的代数余子式乘积之和.即 推论 行列式中任一行(列)中元素与另一行(列)对应元素的 代数余子式乘积之和等于零,即 证:由性质3按第j行展开得到 ri rj 推论 行列式中任一行(列)中元素与另一行(列)对应元素的 代数余子式乘积之和等于零,即 证:由性质3按第j行展开得到 ri rj 性质 4 行列式的某一行(列)元素的公因子可提到行列式外面,即 例如: 证: 推论 行列式的某一行(列)元素的全为零,则此行列式为零. 行列式的某两行(列)对应元素成比例,则此行列式为零. 推论 性质5 若行列式的第i行(列)元素的每一个元素都可以表示为两数的和,则该行列式可以表示为两行列式之和,即 这并不是唯一的分拆方法！ 性质6 把行列式的第j行(列)元素的k倍加到第i行(列)的对应元素上,行列式的值不变. 例 计算行列式 运算符号 ： 交换行列式两行（列），记作 行列式第i行（列）乘以数k，记作 以数k乘行列式第i行（列）加到第j行（列）上，记作 例 求 证 证: 第二行乘以-1加到第一行上,第三行乘以-1加到第二行上,第四行乘以-1加到第三行上，依次之，直到第n行乘以-1加到第n-1行上.可得 例 计算行列式 解: 第二行乘以-1加到其它各行上去可得 例 计算 阶行列式 解 将第 都加到第一列得 例　 当 解: 第一行乘以-1加到其它各行上去可得 例 计算2n阶行列式 解 按第一行展开,有 再对两个(2n-1)阶行列式各按最后一行展开,得 例 计算n阶行列式 解: 将最后一列写成两数之和的形式,再由行列式的性质5可得 由观察可知,上式右端第一个行列式按最后一列展开得Dn-1,而第二个行列式从最后一行开始,每后一行乘以(-1)加到相邻的前一行上,就变为下三角形,其值为1,故得 例 证明范德蒙德(Vandermonde)行列式 证: 将第n-1行乘以(-x1)加到第n行,将第n-2行乘以(-x1)加到第n-1行,这样依次下去,最后将第1行乘以(-x1)加到第2行,得 按第一列展开,并提出每一列的公因子(xi -x1)(i=1,2,…,n),得递推公式: