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* * 第24章 介质格林函数法(Ⅰ) Dielectric Green’s Function Method 先归纳一下前面有关方法论的工作 ? 图 24-1 研究问题的方法 一、Green函数的基本概念 1. 函数 函数是广义函数 (24-1) (24-3) (24-2) 函数有各种物理解释，其中之一是“概率论”中必然事件的概率密度。 2. Green函数 Green函数解决一类普遍问题，不仅是电磁场，而且在力学、流体、空气动力诸方面都有应用，其问题提法是：复杂区域V，在内部有任意源g，已知场u服从 (24-4) 一、Green函数的基本概念 图 24-2 (x)函数 一、Green函数的基本概念 图 24-3 Green函数问题 一、Green函数的基本概念 对于 (r/r)特殊源所对应的是Green函数，有 (24-5) 为了普遍化，我们把 函数的归一性积分写成 (24-6) 〈 〉—Dirac内积符号，表示积分或∑，注意〈 〉对 起作用。 L对 起作用，可以建立恒等式 一、Green函数的基本概念 (24-7) 根据Operater的线性有 (24-8) 对比 可以得到 (24-9) 一、Green函数的基本概念 归结出：只要求出某一类(特定支配方程和边界条件)问题的Green函数，那么，这一类问题中任意源 在点 造成的场 只需由 和 函数的广义内积求得。 最简单的如三维静场 (24-10) 若简洁写成 一、Green函数的基本概念 可知对应的Green函数是 (24-11) 一、Green函数的基本概念 从更广义的物理方法论来理解：式(24-5)可以看成是(24-4)即原问题的伴随问题，若令 且La=L(术语上称之为自伴)，也即 (24-12) 按这一观点 一、Green函数的基本概念 由于 函数的特殊性质，实际上式(24-13)可进一步写成 (24-14) 而式(24-14)正是互易定理的表达形式。 (24-13) 如果问题的区域是分层媒质，则可用镜象法求出Green函数。 采用镜象法的基础是Maxwell方程组的唯一性定理。 它可以叙述为：在给定区域符合微分方程和边界条件的解是唯一的。因此，也可以反过来说，只要符合方程和边界条件，则这个解必定正确。 所谓镜像法，其第一要点是分区求解；第二要 二、镜象法 点是在求解区域之外添加镜象电荷代替边界，使之符合求解区域之内的方程及边界条件。 ［例1］ 半无限空间导体前的点电荷(也即 源)。 ［解］ 先写出分区解和分区边界条件 支配方程 (24-15) 二、镜象法 边界条件 图 24-4 导体镜像法——分区求解 二、镜象法 其中， 为导体面电荷。很明确：解是分区的。 现在采用镜像法 根据图24-5，很易看出： (24-17) 式(24-17)满足支配方程(24-15)是显然的。 二、镜象法 下边考察其边界条件情况。 (1)当x=0  二、镜象法 (2)再研究导数条件  求解?Ⅰ时，在RegionⅡ加镜像电荷(－q) 求解?Ⅱ时，在RegionⅠ加镜像电荷(－q) 图 24-5 镜像电荷——均加在求解区域之外 二、镜象法 对比边界条件式(24-16)，易知 (24-18) 为了验证?的面电荷密度性质，验证下列积分，采用yoz的极坐标，即dydz=rdrd? (24-19) 二、镜象法 作为副产品易知，这种问题的Green函数 于是 (24-21) 上面整个过程即采用镜像法求取Green函数。 二、镜象法 图 24-6 yoz的极坐标 二、镜象法 二维问题的介质Green函数的一般模型如图24-7。在右半空间d处放一无限长线电荷，密度为?。 三、二维介质Green函数 图 24-7 介质镜像法