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第6章 常微分方程数值解法 本章主要介绍一阶方程初值问题 的数值解法。它是寻求解曲线y(x)在一系列离散节点 x1＜x2＜…＜xn＜xn+1＜… 上准确值y(xi)的近似值yI(i=0,1,2,…)相邻两个节点的间距h=xi+1-xi称为步长。今后如不特别说明，总是假定h为定数，这时节点为 xi=x0+ih(i=0,1,2,…) 初值问题的数值解法有个基本特点，它们都采取“步进式”，即求解过程顺着节点排列的次序一步一步地向前推进。描述这类算法，只要给出用已知信息yn,yn-1,yn-2…计算yn+1的递推公式即可。 6.1 欧拉方法 6.2 龙格-库塔方法 6.3 一阶方程组 6.4 应用实例 6.1 欧拉方法 1. 方向场 我们把x,y看作一平面上的直角坐标，并设方程(6.1)右端的函数f(x,y)在此平面上某域G内有定义。 所谓等斜线就是这样的点的轨迹，在这些点处方向场中方向的斜率取向一值c 2 . Euler方法 Euler方法是解方程(61)的最简单的数值方法。 3. 误差 为简化分析，人们常在yn为准确的假定下(即yn=y(xn))，估计误差 en+1=y(xn+1)-｛y(xn)+hf［xn, y(xn)］｝ 这种误差称为局部截断误差。如果不作这一假定，累积了n步的误差，称为整体截断误差。其表达式为 En+1=y(xn+1)-yn+1=y(xn+1)-［yn+hf(xn, yn)］ ［例1］证明Euler方法能准确地求解以下初值问题： 分析：因为准确解 ,所以 由Euler公式得y0=y(x0)，假定yn=y(xn)， 往证 证明： 由Euler 公式得 6.2 龙格-库塔方法 我们已经知道，Euler方法是一阶方法。它是在假定yn=y(xn)的情况下，对解曲线y(x)在xn点Taylor展开取线性部分的结果。如果我们将Taylor展开多取几项，就可以得到更高精度的方法：龙格-库塔（Runge-kutta)方法。  Runge-kutta方法要用到高等数学中的二元Taylor公式和二元函数求导法则。 [例4] 证明对于任意参数，下列格式都是二阶的： 6.3 一阶方程组 ［例6］已知一火箭发动机的推力p(t)=2000kg，燃气喷射速度vr=2000m/s，空气阻力函数 火箭在t=0.1s时从倾角θ0＝45°的发射架射出，此时火箭的重量q0=45kg，速度v0=50m/s，若发动机在一秒钟后(t=1.1s)关车停止工作，求此时火箭所具有的速度v和方向角θ，要求精度为±0.1m/s及±0.0003rad。 解：根据质点运动学基本原理，火箭在主动飞行段理想运动状态的微分方程为 这里v(t)是火箭运动速度，θ(t)是火箭运动方向与水平方向的夹角，g=9.8m/s是重力加速度，火箭质量 这实际上就是在t=0.1s时v0=50m/s，θ0=45°的初始条件下求上面微分方程组在t=1.1s时速度v和方向角θ(上机计算留为作业)。 6.4 应用实例 ［例7］卫星围绕地球和月球飞行(假定三者在同一平面上)，忽略大气阻力，地球的扁球性等微小作用，则卫星的运动方程可表示为： 其中，λ=1-μ， 初始条件： 这里，y1，y2是卫星相对于地球和月球的坐标。假定卫星围绕地球和月球旋转时，能使地球和月球总位于y1轴上，自变量x是时间，它不明显地在上述方程中出现。选择长度、质量和时间的单位，以使地球位于(y1，y2)=(-μ，0)，月球位于(y1，y2)=((1-μ)，0)。常数μ是月球质量与月球加上地球的总质量之比，如果令m1=地球质量，m2=月球质量，则 。坐标系如图6-4所示。 这个问题称为有约束的三体问题，可用一阶方程组的数值解法求解。问题的解是以T=6.192169为周期的轨迹，如图6－5所示。 * 证 明 完 毕 证明完毕 图6-4 坐标系 图6-5 运行轨迹