计算方法课件 第八章常微分方程初值问题的数值解法.pptVIP

复习泰勒公式 由于二级方法 ，方程也可写为 要使Rn尽量小，应首先让h，h2项的系数为零，即 上述方程所确定的解都能使二级 R-K方法成为一个二阶方法。 此时Rn为 为使Rn最小，应令 从而有 局部截断误差为： 故有二阶R-K方法为： 该方法又称为二阶Heun（休恩）方法。 Euler预估-校正格式 若取 Remark1：我们可以构造无穷多个二级R-K方法，这些方法的截断误差均为O(h3),即都是二阶方法。其中二阶Heun方法是截断误差项数最少，且允许f 任意变化的情况下截断误差最小的二阶方法。 Remark2：二级R-K方法不可能达到三阶 Remark3：同样可构造其他阶的R-K方法，它们都有无穷多组解，且三级R-K方法阶数不超过3，四级R-K方法阶数不超过4。 Remark4：更高阶的方法由于计算量较大，一般不再采用。 标准（经典）四级四阶R-K公式 关于R-K方法计算量的讨论 二阶R-K方法需计算两个函数值，四阶R-K方法需计算四个函数值，但精度要比二阶方法高出两阶。因此，要达到同样的精度，用低阶方法需步长取得比较小，但若用高阶方法则可以将步长取得大一些，从而降低计算量。 四阶经典R－K方法的稳定性条件是 关于R-K方法稳定性的讨论 二阶R－K方法的稳定性条件是 线性多步法的基本思想：如果充分利用前面多步的信息来预测yn+k，则可以期望获得较高的精度。 §8.3 线性多步法 前面的R－K方法是增加一些非节点处的函数值的计算来提高单步法的精度的，这样使计算量增加了许多。本节介绍多步法，是在不过分增加计算量的情况下取得较高的计算精度。 线性多步法公式的构造一般用两种方法，即Taylor展开法与数值积分法。 线性多步法的一般形式 式中 都为实数，且 。当?－1?0时上式为隐式方法，当?－1＝0 时，上式为显示方法。由于求yn+1用到前面yn,yn-1,…,yn-r等r＋1个值，且关于yn-j和fn-j(j=0,1,2,…,r)都是线性的，因此称上式为线性r＋1步方法。 一、用数值积分方法构造线性多步法 将 方程两端从 积分得 （1） 对 取等距插值节点 ， 对应的函数值为 如果k取 不同的值，以及F(x)取不同的插值多项式近似，由上式就可以推导出不同的线性多步公式。 其插值余项为： 1. 阿达姆斯(Adams)外插公式 在(1)式中取k=0，并选择xn,xn-1, xn-2,xn-3作为插值节点，作函数F(x)的三次插值多项式： 把F(x)=L3(x)+ R3(x)代入（1）式，有 略去上式右端第三项，得 对于上式积分部分用变量代换x=xn+th，并注意到 则 从而得到线性四步Adams显式公式： 其局部截断误差就是数值积分的误差 因(x-xn)(x-xn-1)(x-xn-2)(x-xn-3)在[xn,xn+1]上不变号，并设F(4)(x)在[xn,xn+1]上连续，利用积分中值定理，存在?n? [xn,xn+1]，使得 因为插值多项式L3(x)是在[xn－3,xn]上作出的，而积分区间为[xn,xn+1]，故上式称为Adams外插公式。 2. 阿达姆斯(Adams)内插公式 若在(1)式中取k=2，并选择xn＋1,xn, xn-1,xn-2作为插值节点，作函数F(x)的三次插值多项式。类似于上面的外插公式，有 该公式也称为Adams内插公式，为三步隐式方法。 3. 阿达姆斯(Adams)预估-校正公式 由于Adams内插公式是隐式方法，故用它做计算需使用迭代法。通常把Adams外插公式与内插公式结合起来使用，先由前者提供初值，再由后者进行修正，即 当 在求解区域内成立时，迭代收敛。 若上式中的第二式只迭代一次，便得到Adams预估-校正格式。 Taylor展开法更具一般性，不仅可以构造用数值积分法得出的数值方法，而且还可导出积分法得不到的方法。它比积分法更加灵活。下面仅举一例说明如何用这种方法构造线性多步法。 二、用Taylor展开法构造线性多步公式 首先以xn-1,xn,xn+1为节点，构造形如 的公式。假设上式右边 将函数 在x=xn处展开，有: 代入给定公式并按h的幂次整理得到下式： 将上式与 比较，选择系数?i(i=0,1)和?i(i=-1,0,1)使两式中关于h的同次幂的系数有尽可能多的项相等。故有： 求解上述方程组，得出?0， ?1，?－1， ?0 ，?1。所得到的算式的局部