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* 第四章 函数的插值与拟合法 4.1 引言　 　　　 　　 4.2 插值多项式的构造 　　 4.3 分段低次插值 　　　　 4.4 最小二乘法 则称P(x)为f(x)的插值函数。这时，我们称[a,b]为插值区间， 称 为插值节（结）点，称（4-1）为插值条件，f(x)为被插函数。求插值函数P(x)的方法称为插值法。 特别地，当P(x)为次数不超过n次的代数多项式时，相应的插值法称为多项式插值；当P(x)为三角多项式时，相应的插值法称为三角插值；当P(x)为分段解析函数时，相应的插值法称为分段插值。其中三角插值主要用于处理周期函数。本章仅介绍最基本的多项式插值。 4.1 引言 定义 4.1 设 y= f(x) 在区间[a,b]上连续，在[a,b]内n+1个互不相同的点 上取值 。如果存在一性态较好的简单函数P(x)，使得 定理 4.1 在 n+1 个互异点 上满足插值条件 (4-1) 的次数不超过n次的插值多项式 存在且惟一。 记 即有 所以，解存在且惟一，这说明由式 (4-2) 表示的 存在且惟一，证毕。 证 4.2 插值多项式的构造 4.2.1 拉格朗日插值多项式 解 而此因式已为n次多项式，故应有 对给定的n+1个次数 n次的插值多项式 再由 称为n次拉格朗日（Lagrange）插值基函数（或称为拉格朗日基本插值多项式）。据之，我们可构造多项式 它称为n次拉格朗日插值多项式 引进 n+1 多项式函数 n=2时称为抛物插值。 n=1时称为线性插值， 定理 4.2 （误差估计定理） 注 （1）余项公式主要用于理论分析。实际使用时，代 之以误差估计式 （2）插值节点的选取应尽量靠近插值点，以使 尽可能小，以减小误差。 推论 例 4.1 给定函数表 试分别用线性插值和抛物插值求ln 1.46的近似值并估计误差。 0.530628 0.470004 0.405465 0.336472 0.262364 0.182322 lnx 1.7 1.6 1.5 1.4 1.3 1.2 x 作线性插值 得 作抛物插值 得 解 4.2.2 牛顿均差插值多项式 定义 4.2（均差） 例 4.2 给定表格函数 试求均差 首先由定义得 9 -59 -71 -59 -39 -19 -3 7 10 f(x) 8 7 6 5 4 3 2 1 0 x 解 均差的性质： 这性质又称为均差关于自变量对称 例 4.3 试用列表法对例4.2的表格函数求 f[1, 3, 5, 7] 列表计算得 1.125 -1.75 5 -13 -20 0 7 -19 -59 -59 1 3 5 7 三阶均差 二阶均差 一阶均差 f(xi) xi 所以 f [1, 3, 5, 7] = 1.125 解 Nn(x)称为牛顿均差插值多项式。 证 此外，我们可利用插值多项式进行“反插”计算。 例 4.4 给定表格函数 10.36 -1.495 1.31 0.175 0.5 f(x) 5 4 3 2 1 x （1）试用二次牛顿均差插值法求 f (2.8) 的近似值； （2）设 f (x)=-1.166 已知，试用（1）中构造的插值多项 式求 x 的近似值。 解 4.3 分段低次插值（略） 4.4 最小二乘法 4.4.1 最小二乘法的提出 4.4.2 数据的多项式最小二乘拟合 解 方差。 它称为法方程组（或正规方程组）。 例 4.5 试对以下数据进行多项式拟合 64.2 49.6 37.4 24.6 15.6 8.7 3.8 1.1 yi 8 7 6 5 4 3 2 1 xi 解