随机过程Ch2修改20130910.pptVIP

第二章 随机过程的概念与基本类型 2.1 随机过程的一般概念 设(?, F,P)为概率空间，T是参数集。若对任意 t ?T ，有随机变量X(t, e)与之对应，则称随机变量族{X(t, e)， t ?T }是(?, F,P)上的随机过程，简记为 {X(t)，t ?T }或{Xt，t ?T }。 X(t)的所有可能的取值的集合称为状态空间或相空间，记为I。 随机过程的例子 某时间段内道路交通流的变化 以X(t)表示某电话交换台在时间段[0,t]内接到的呼叫次数，则{X(t)，t∈[0,∞)}是随机过程； 预测某一天某段时间的天气； X(t)=acos(ωt+Θ)， t∈（- ∞,∞)，其中a，ω是常数，Θ是随机变量。则{X(t)，t∈ （- ∞,∞)}是随机过程。 2.1 随机过程的基本概念 从数学上看，随机过程{X(t, e)， t ?T }是定义在T??上的二元函数。 对固定的t，X(t, e) 是(?, F,P)上的随机变量； 对固定的e，X(t, e) 是定义在T上的普通函数，称为随机过程的一个样本函数或样本轨道。 2.1 随机过程的基本概念 按参数T和状态空间I分类 （1）T和I都是离散的 （2）T是连续的，I是离散的 （3）T是离散的，I是连续的 （4）T和I都是连续的 按Xt 的概率特性分类 正交增量过程 独立增量过程 马尔可夫过程 平稳随机过程 2.2 随机过程的分布和数字特征 随机过程{X(t)，t ?T }的有限维分布函数族 其中 是n维随机变量 (X(t1), X (t2), ?, X (tn))的联合分布函数 2.2 随机过程的分布律和数字特征 有限维分布函数族的性质 (1)对称性 其中 是 的任意排列 (2)相容性 m n 2.2 随机过程的分布律和数字特征 定理（柯尔莫哥洛夫，Kolmogorov)： 设已给参数集T及满足对称、相容的有限维分布函数族F 则必存在概率空间(?, F,P)及定义在其上的随机过程{X(t)，t ?T }，它的有限维分布函数族就是F 2.2 随机过程的分布和数字特征 定义2.3 设{X(t)，t ?T }是随机过程，定义 均值函数 若对 ,EX2(t)存在，则称该过程为二阶矩过程。 方差函数 协方差函数 （自）相关函数 ☆显然有关系式 2.2 随机过程的分布律和数字特征 例 设X(t)=Ycos(?t)+Zsin(?t), t0，Y, Z相互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=?2。求{X(t), t0}的均值函数和协方差函数。 解 例 设X(t)=Y+Zt, t0，Y, Z N(0, 1) 求{X(t), t0}的一、二维概率密度族。 解 因Y, Z为正态随机变量，则其线性组合X(t)也是正态随机变量， 设{X(t)，t ?T }，{Y(t)，t ?T }是两个随机过程，二阶矩函数存在，定义 互协方差函数 互相关函数 ☆ 显然有关系式 例 设X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程，W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值函数和相关函数。 解 复习随机过程的概念 设(?, F,P)为概率空间，T是参数集。若对任意 t ?T ，有随机变量X(t, e)与之对应，则称随机变量族{X(t, e)， t ?T }是(?, F,P)上的随机过程，简记为 {X(t)，t ?T } 。 2.3 复随机过程(了解） 定义2.5设{Xt，t ?T }，{Yt，t ?T }是取实值的两个随机过程，对t ?T ，Zt = Xt + iYt，则称{Zt，t ?T }是复随机过程。 均值函数 方差函数 2.3 复随机过程 相关函数 协方差函数 ☆显然有关系式 2.3 复随机过程 设{Xt，t ?T }，{Yt，t ?T }是两个复随机过程，定义 互相关函数 互协方差函数 ☆显然有关系式 2.3 复随机过程 复随机过程的协方差函数具有性质 (1)共轭对称性 (2)非负定性 2.3 复随机过程 例 设复随机过程 X1, X2, ?, Xn独立，w1, w2, ?, wn为参数， 求{Zt, t?0}的均值函数m(t)和相关函数R(s, t) 解 2.3 复随机过程 证：事实上，对t1t2?t3t4?T,由独立增量性，有 E[(X(t2