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情景导入： 我们如何通过行使的船只来测量远处某 一物体的距离或方位角呢？除了上节课学习的 正弦定理，还有这节课我们即将要学习的余弦定理 1.1.2 余弦定理 利用余弦定理可以解决什么类型的三角形问题？ [例1]　在△ABC中，已知a＝2，b＝2 ，C＝15°，求角A、B和边c的值． [分析]　由条件知C为边a、b的夹角，故应由余弦定理来求c的值． [点评]　判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用正、余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状，也可利用正、余弦定理将已知条件转化为角与角之间的关系，通过三角变换，得出三角形各内角之间的关系，从而判断三角形形状． * 奉节中学：杨梅 余弦定理 两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山。 正弦定理： （1）已知两角和任一边。 （2）已知两边和一边的对角。 复习回顾 学科网 正弦定理可以解决的三角形问题 1、了解用向量法证明余弦定理的过程 2、能够从余弦定理得到它的推论 3、掌握用余弦定理及推论解三角形 学科网 重点： 理解余弦定理的作用及适用范围，会用余弦 定理解决三角形的基本问题。 难点： 体会向量在解决三角形的度量问题中的工具 性作用及正余弦定理的综合应用。 学习目标： 如果已知一个三角形的两条边及其夹角，或已知三角形三边根据三角形全等的定理，三角形大小形状完全确定，那么如何解出这样的三角形呢？ 思考： 任意一个三角形，已知两边和夹角，求第三边. c= ? 若△ABC为任意三角形，已知BC=a，AC=b及∠C，求AB边长c. 即 一般化问题 证明： 向量法 若 ABC为任意三角形，已知角C，BC=a,CA=b,求证： b c A B C a a2=b2+c2-2bc·cosA b2=c2+a2-2ca·cosB c2=a2+b2-2ab·cosC 变形 b2+c2 - a2 2bc cosA= c2+a2 - b2 2ca cosB= a2+b2 - c2 2ab cosC= C B A a b c 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 利用余弦定理，可以解决： （1）已知三边，求三个角； （2）已知两边及夹角，求第三边和其他两个角。 （3）判断三角形的形状。 点评：　本题求出c后，用正弦定理求角A，需要讨论确定A的值，而求出c后，再用余弦定理求角A，可以避免讨论． 【点评】　已知三边解三角形的方法及注意事项： (1)由余弦定理的推论求三内角的余弦值，确定角的大小． (2)由余弦定理的推论求一个内角的余弦值，确定角的大小；由正弦定理求第二个角的正弦值，结合“大边对大角、大角对大边”法则确定角的大小，最后由三角形内角和为180°确定第三个角的大小． (3)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角，值为负，角为钝角，思路清晰，结果惟一． 【点评】　已知两边及一边对角解三角形的方法及注意事项： (1)解三角形时往往同时用到正弦定理与余弦定理，此时要根据题目条件优先选择使用哪个定理． (2)一般地，使用正、余弦定理求边，使用余弦定理求角．若使用正弦定理求角，有时要讨论解的个数问题． 在△ABC中， 若 ，则cosC=0，即∠C=90°（直角） 若 ，则cosC0，即∠C90°（锐角） 若 ，则cosC0，即∠C90°（钝角） 因此，余弦定理可看作是勾股定理的推广， 勾股定理可看作是余弦定理的特例。 课堂练习 1、 2、 3. 在△ABC中，已知a=7,b=10,c=6, 判定△ABC的形状 分析： △ABC的形状是由大边b所对的大角 B决定的。 *