隐函数和隐函数组3.pptVIP

则所求的法向量为 至此, 不难写出切平面方程和法线方程分别为 解 先计算在点 处的法向 例8 设曲面的参数方程为 试对此曲面的切平面作出讨论. 量: 由此看到, 当 时 说明在曲面 (12) 而当 时, 法向量可取 上存在着一条曲线, 其方程为 在此曲线上各点处, 曲面不存在切平面, 我们称这 种曲线为该曲面上的一条奇线. 与之对应的切平面则为 法线则为 当动点 趋于奇线 (13) 上 的点 时, 法向量 存在极限(一般不一定存在): 此点处 不存在法 此时切平面存在极限位置: 有时需要用此“极限切平面”来补充定义奇线上的 切平面 . 注 曲面上的孤立奇点往往是曲面的尖点, 如圆锥 面 的顶点 在 线和切平面. 而曲面上的奇线, 则往往是该曲面的 “摺线” 、“边界线” 或是曲面自身的 “交叉线”. 曲面 (12) 及其奇线 (边界线) 的图象如下: 图 18－11 定义 若 存在连续的一阶偏导数, 且满足 则称曲面 为 一光滑曲面. 对于用双参数方程 (11) 表示的曲面, 应如何定义 它为光滑曲面? 请读者自行考虑. 复习思考题 1. 模仿例2、例4, 使用数学软件(例如 MATLAB) 分别绘出例1 中的曲线和例8 中的曲面. 自几何对象的计算公式也不同. 试考虑怎样才能较 2. 曲线或曲面由于它们表示形式的不同, 导致各 容易地记住这许多公式? 3. 光滑曲面有怎样的几何特征? 对于用参数方程 (11) 表示的曲面, 应如何定义它为光滑曲面? 为什么说是一条边界线? 4. 例8 所讨论的曲面上, 对应于 的那条奇线 返回 后页 前页 在本节中所讨论的曲线和曲面, 由于它们 的方程是以隐函数(组)的形式出现的, 因此 在求它们的切线或切平面时, 都要用到隐函 数(组)的微分法. §3 几 何 应 用 三、曲面的切平面与法线 返回 一、平面曲线的切线与法线 二、空间曲线的切线与法平面 *四、用参数方程表示的曲面 一、平面曲线的切线与法线 曲线 L ： 条件： 上一点, 近旁, F 满足 隐函数定理条件, 可确定可微的隐函数: 处的切线： 总之, 当 例1 求笛卡儿叶形线 在点 处的切线与法线. 解 设 由§1 例 2 的讨 论 近旁满足隐函数定理 的条件. 容易算出 于是所求的切线与法线分别为 例